إسهام معلمي الرياضيات في تنمية مهارات حل المشکلة الرياضية لدى طلابهم

               کلیة التربیة

        کلیة معتمدة من الهیئة القومیة لضمان جودة التعلیم

        إدارة: البحوث والنشر العلمی ( المجلة العلمیة)

    =======

إسهام معلمی الریاضیات فی تنمیة

مهارات حل المشکلة الریاضیة لدى طلابهم

إعــــداد

الباحث / ترکی بن حمید سعیدان السلمی

طالب دکتوراه بقسم المناهج وطرق التدریس – کلیة التربیة – جامعة أم القرى

مشرف تربوی – الإدارة العامة للتعلیم بمنطقة مکة المکرمة - المملکة العربیة السعودیة

}     المجلد الرابع والثلاثون– العدد الحادى عشر–نوفمبر 2018م {

http://www.aun.edu.eg/faculty_education/arabic

ملخص الدراسة

       هدفت الدراسة إلى التعرف على درجة إسهام معلمی الریاضیات فی تنمیة مهارات حل المشکلة الریاضیة لدى طلاب المرحلة الابتدائیة. ولتحقیق هدف الدراسة استخدم الباحث المنهج الوصفی المسحی، وأعدّ بطاقة ملاحظة کأداة للدراسة، وتکونت البطاقة من (28) مهارة موزعة على خطوات حل المشکلة الریاضیة: فهم المشکلة، وضع خطة للحل، تنفیذ خطة الحل، التحقق من صحة الحل. وطُبِّقت الأداة على عینة عدد أفرادها (25) معلمًا من معلمی الریاضیات الذین یُدرِّسون طلاب الصف الرابع الابتدائی فی المدارس الحکومیة بمدینة مکة المکرمة. وللإجابة عن أسئلة الدراسة استُخدِمت بعض المقاییس الإحصائیة من خلال تطبیق برنامج الحزم الإحصائیة للعلوم الاجتماعیة (spss). وتوصلت الدراسة إلى النتائج التالیة:

1. درجة إسهام معلمی الریاضیات فی تنمیة مهارات فهم المشکلة کان بمستوى متوسط، بینما درجة إسهامهم فی تنمیة مهارات: وضع خطة للحل، وتنفیذ خطة الحل، والتحقق من صحة الحل کان بمستوى منخفض.
2. درجة إسهام معلمی الریاضیات فی تنمیة مهارات حل المشکلة الریاضیة ککل کان  بمستوى منخفض.

وفی ضوء نتائج الدراسة، قدم الباحث مجموعة من التوصیات من أهمها:

1. إثراء المقررات القائمة (التخصصیة) ضمن برنامج إعداد معلم الریاضیات بکل ما یتعلق بحل المشکلات.
2. تدریب المعلمین أثناء الخدمة على حل المشکلات الریاضیة (الخطوات، المهارات، الاستراتیجیات)، مع التوازن فی الجانبین النظری والتطبیقی أثناء التدریب.
3. إعداد دلیل متکامل لمعلم الریاضیات فی مجال حل المشکلات، لیکون أحد المراجع الرئیسة للمعلم فی هذا المجال.

Abstract

        This study aimed to identify the extent of contribution made by the mathematics teachers in promoting mathematical problem solution skills (algorithm) by primary school stage students. To achieve the objectives of the study, the researcher employed the descriptive survey method and prepared an observation card as the study's tool. The card contained (28) skills assigned to the steps of working out the mathematical problem: comprehending the problem, formulating a plan for solution, executing the solution plan, and verifying the correctness of the solution. The instrument was administered to a sample of (25) mathematics teachers who are teaching fourth primary graders at the government schools in the Holy City of Makkah. To answer the study questions some statistical measures were used through applying the social sciences statistical packages (spss).

The study reached the following results:

1. The degree of the mathematics teachers' contribution in promoting the skills of understanding the problem was at a medium level, whereas the degree of their contribution in promoting the skills (drawing up a solution plan, carrying out the solution plan, and verifying the accuracy of the solution) was at a low level.
2. The extent of mathematics teachers' contribution in promoting mathematical problem solution skills  as a whole was at a low level.

      Based upon the results reached, the researcher made a number of important recommendations:

1. Enriching and reinforcing the current courses (specialized) within the mathematics teacher education program with the new in the area of problem solving .
2. Training in-service teachers in mathematical problem solving (steps, skills, strategies) while maintaining a balance between the theoretical and applied aspects during training.
3. Preparing a mathematics teacher's integrated manual in the area of problem solving, to serve as one of the main teacher references in this field.

مقدمة:

      " تأتی أهمیة حل المشکلات فی الریاضیات المدرسیة من حیث کونها النتاج الأخیر لعملیة التعلیم والتعلم. فالمعارف والمهارات والمفاهیم والتعمیمات الریاضیة وجمیع الموضوعات الدراسیة الأخرى، لا تُعد هدفًا فی ذاتها، وإنما هی وسائل وأدوات تساعد الطالب على حل مشکلاته الحقیقیة". (النذیر وآخرون، 2012م: 26)

      وقام المجلس القومی لمعلمی الریاضیات فی الولایات المتحدة الأمریکیة (NCTM, 2000) بتحدید ما یتوقع من المتعلم تعلمه من الریاضیات فی المراحل الدراسیة المختلفة، ووضع تلک التوقعات فی عشرة محاور من أهمها قدرة الطالب على حل المشکلات الریاضیة (المالکی، 2011م: 56)، کما قدم المجلس الوطنی لمشرفی الریاضیات (NCSM, 2000) المکونات الأساسیة للریاضیات فی القرن الحادی والعشرین، وذکر فی مقدمتها حل المشکلات (الشهری، 2007م: 2). وتؤکد وثیقة منهج الریاضیات فی التعلیم العام بالمملکة العربیة السعودیة على أن تنمیة مهارات حل المشکلات الریاضیة تعد هدفًا رئیسًا من أهداف تعلیم الریاضیات بمراحل التعلیم المختلفة. (الشهری، 2007م: 3)

      وتُعتبر عملیة تکوین خطة لحل المشکلة عملیة مهمة یتوقف علیها نجاح حل المشکلة، حیث إن معظم الأفراد الذین یتعثرون فی حل المشکلات لا تکون لدیهم خطة واضحة للحل (الأمین، 2004م: 245). ویُعد ما قدمه جورج بولیا George Polya فی کتابه "البحث عن الحل How to Solve it " من أفضل الأعمال التی تقدم خطة لحل المشکلة بطریقة مشوقة وممتعة، حیث أنه اقترح أربع خطوات لحل المشکلة وهی: فهم المشکلة، التخطیط، تنفیذ الخطة، اختبار الحل (الهویدی، 2006م (أ) : 147). وقلما نجد مؤلِفًا أو باحثًا یتناول موضوع حل المشکلات إلا ویتعرض لما اقترحه بولیا حول هذا الموضوع، بل ویؤکد على أهمیة استخدام مقترحاته فی حل المشکلة الریاضیة، وهذا ما أکدته دراسة: المصری(2003م)، وأبو لوم(2005م)، والقیسی (2005م)، والعویشق(2009م) والتی أوصت جمیعها على أهمیة استخدام المعلمین لخطوات بولیا فی حل المشکلة الریاضیة.

      ویعانی الکثیر من الطلاب من صعوبات تواجههم فی حل المشکلات الریاضیة، والتی أدت بدورها إلى ضعف قدراتهم فی حل هذه المشکلات بصورة جزئیة أو کلیة، وهذا ما أظهرته نتائج بعض الدراسات کما فی دراسة: سمیلة الصباغ (2006م)، ومدین (2006م)، ورصرص(2007م)، والجنید (2008م)، ، والسمیری (1429ه)، وفوزیة الثبیتی (2011م). کما أظهرت نتائج اختبارات TIMSS وهی اختبارات تهدف إلى قیاس مستوى التقدم فی التحصیل الدراسی للطلاب فی مادتی الریاضیات والعلوم، وتتم بصفة دوریة کل أربع سنوات، ویشترک فیها الکثیر من الدول) ضعف نتائج تحصیل طلاب المملکة العربیة السعودیة فی العلوم والریاضیات، حیث کان ترتیب الطلاب فی اختبارTIMSS 2003 فی الریاضیات فی الموقع (43) من بین (45) دولة مشارکة وبمتوسط تحصیل مقداره (332) حیث کان المتوسط الدولی (476)، بینما کان ترتیبهم فی اختبار TIMSS 2007 فی الموقع (47) من بین (49) دولة مشارکة ومعتمدة النتائج وبمتوسط تحصیل مقداره (329) حیث کان متوسط القیاس (500) (الشمرانی، 1430ه: 11)، ویخفق طلابنا فی حل کل الأسئلة وعلى وجه الخصوص الأنماط والمشکلات اللفظیة. (وزارة التربیة والتعلیم (منشورات علمیة)، 2009م)  

       وتُعد تربیة الطلاب وإعدادهم للحیاة ومشکلاتها المعقدة أحد أهم الأهداف التی تسعى المؤسسات التربویة لتحقیقها، وفی سبیل تحقیق هذا الهدف یتجلى بوضوح دور معلم الریاضیات فی تنمیة مهارات حل المشکلة لدى طلابه، وهذا ما توصلت له دراسة: المصری (2003م)، ولطیف وأبو لوم (2004م)، وسمیلة الصباغ(2006م) والزعبی(2008م)، وساکورن بمتا (Sakorn Pimta, 2009) المشار إلیها فی العنزی(1430ه: 80)، والتی أکدت جمیعها على أن ممارسات معلم الریاضیات لمهارات تدریس حل المشکلات لها دور هام فی قدرة طلبته على حل هذه المشکلات.

       ویرى أبو زینة (2003م) أن مقدرة الطلبة على حل المشکلات کانت وما زالت دون المستوى المأمول لأنهم لم یواجهوا إلا بالقلیل من المشکلات الحقیقیة والجیدة أثناء دراستهم؛ حیث یقتصر المعلم على مشکلات روتینیة ذات نمط ضیق، فی مقابل ترکیزه وبصورة کبیرة على إکساب الطلبة المهارات وإجراء الحسابات الروتینیة والتطبیقات المباشرة للقوانین (ص290)، ویشیر الفرد بی وجی Alfred P. Logie إلى أن الدراسات التربویة کشفت بأن المعلمین ینزعون إلى الحصول على الاستجابات الاستظهاریة وهذا ما یعزز التفکیر المألوف، باستثناء 5٪ من المعلمین الذین یستخدمون استراتیجیات حل المشکلة الأکثر فعالیة           (الهویدی، 2006(ب): 107)، وخلص سیدم Suydam بعد مراجعة الأبحاث التی أجریت فی مجال حل المشکلات إلى أن من أهم الصعوبات والمشاکل التی تواجه الطلبة فی مجال حل المشکلات هی طریقة تدریس المعلمین لحل المشکلات؛ حیث یعتمد المعلمون على استخدام طریقة التلقین والتطبیق المباشر للقوانین فی تدریس حل المشکلات بحیث یکون دور الطلبة مقتصرًا على محاکاة الطریقة التی استخدمها المعلم وتطبیق القوانین والخطوات المشروحة للوصول إلى الحل. (نهى الرویشد وأمل العجمی، 2009م: 193-194)   

      وقد دلت نتائج بعض الدراسات على تدنی أداء معلمی الریاضیات فی مجال حل المشکلات الریاضیة؛ فدراسة سلیمان(2002م)، أظهرت أن أداء معلمی الریاضیات للمرحلتین الابتدائیة والمتوسطة ضعیفًا جدًا فی حل المشکلات الابتکاریة، ومن نتائج دراسة           حسب الله (2005م) ضعف مستوى أداء الطالبات المعلمات فی مهارات تدریس حل المشکلة الریاضیة، وأظهرت دراسة العویشق(2009م) ضعف مستوى أداء المعلمین فی تدریس حل المشکلة الریاضیة.          

مشکلة الدراسة:

     من خلال ما أظهرته نتائج الدراسات السابقة والاختبارات الدولیة من ضعف أداء الطلاب فی حل المشکلات الریاضیة، والتی أعزاها بعض المختصین إلى مجموعة من الأسباب من أهمها طرائق التدریس التقلیدیة التی یستخدمها معلمو الریاضیات فی حل المشکلات، وفی ضوء تطبیق مقررات الریاضیات الجدیدة والتی اهتمت بتطبیق الریاضیات فی حل مشکلات من واقع الحیاة، ولما لاحظه الباحث فی زیاراته الصفیة للمعلمین فی المدارس من قلة اهتمام المعلمین بالموضوعات الدراسیة التی تتناول حل المشکلات، فقد ارتأى الباحث التعرف وبصورة        مباشرة وعلمیة على درجة إسهام معلمی الریاضیات فی تنمیة مهارات حل المشکلة الریاضیة لدى طلابهم.

أسئلة الدراسة:

       تسعى الدراسة للإجابة عن السؤال الرئیس التالی: ما درجة إسهام معلمی الریاضیات فی تنمیة مهارات حل المشکلة الریاضیة لدى طلابهم؟

     ومن هذا السؤال تتفرع الأسئلة التالیة:

1. ما درجة إسهام معلمی الریاضیات فی تنمیة مهارات فهم المشکلة؟
2. ما درجة إسهام معلمی الریاضیات فی تنمیة مهارات وضع خطة للحل؟
3. ما درجة إسهام معلمی الریاضیات فی تنمیة مهارات تنفیذ خطة الحل؟
4. ما درجة إسهام معلمی الریاضیات فی تنمیة مهارات التحقق من صحة الحل؟
5. ما درجة إسهام معلمی الریاضیات فی تنمیة مهارات حل المشکلة الریاضیة ککل؟

أهداف الدراسة:

      تهدف الدراسة إلى: التعرف على درجة إسهام معلمی الریاضیات فی تنمیة مهارات حل المشکلة الریاضیة لدى طلابهم.

أهمیة الدراسة:

  تبرُز أهمیة الدراسة من خلال التالی:

1. أهمیة الموضوع (حل المشکلات الریاضیة)، ودور المعلم فی تنمیة مهارات حل المشکلة الریاضیة لدى طلابه، فالطالب عندما یستطیع حل مشکلات ریاضیة متنوعة وفق خطوات علمیة فإن هذا یساهم فی تنمیة مهاراته وتعزیز قدراته على حل مشکلاته ومشکلات       مجتمعه مستقبلاً.
2. قد تساعد معلمی الریاضیات فی التعرف على جوانب القصور لدیهم أثناء ممارساتهم    التدریسیة عند حل المشکلة الریاضیة ومن ثم العمل على علاجها.
3. قد تفید المسؤولین فی التعرف على الواقع التدریسی للمعلمین فی حل المشکلات الریاضیة لتکون منطلقًا لهم لاتخاذ القرارات المناسبة نحو تطویر أداء المعلمین.
4. قد یستفید المشرف التربوی أو قائد المدرسة (المشرف المقیم) من بطاقة الملاحظة کأداة لتقویم أداء المعلم فی دروس حل المشکلات الریاضیة.

حدود الدراسة:

الحدود الموضوعیة: اقتصرت الدراسة على خطوات بولیا الأربع (فهم المشکلة، وضع خطة للحل، تنفیذ خطة الحل، التحقق من صحة الحل) لحل المشکلة الریاضیة، ومهارات کل خطوة، والتی وردت فی بطاقة الملاحظة التی أعدّها الباحث.

الحدود البشریة والمکانیة: اقتصرت الدراسة على عینة من معلمی الریاضیات الذین یُدرِّسون طلاب الصف الرابع الابتدائی فی المدارس الحکومیة بمدینة مکة المکرمة.

الحدود الزمانیة: طبقت الدراسة میدانیًا فی العام الدراسی 2014م

مصطلحات الدراسة:

المشکلة (المسألة) الریاضیة:

      عرّفت ماجدة صالح(2006م) المشکلة الریاضیة بأنها: "موقف یکون فیه الفرد         (أو المجموعة) مطالبًا بإنجاز مهمة معینة بحیث لا توجد الخوارزمیة التی یمکن الوصول إلیها بسهولة، والتی من شأنها تحدید طریقة الحل لهذه المهمة تحدیدًا کاملاً". (ص282)

     وتُعرَّف المشکلة الریاضیة إجرائیًا بأنها: عبارة عن سؤال ریاضی یثیر تحدیًا لتفکیر الطالب، ولا یملک إجابته بصورة مباشرة، إنما یحتاج منه إلى التفکیر بعمق للوصول إلى الحل.

 حل المشکلة (المسألة) الریاضیة:

     عرّف عفانة(2001م) حل المشکلة الریاضیة بأنه: "إجراءات عملیة یقوم المتعلم بها من أجل إیجاد مخرج للموقف المحیر الذی هو فیه مستعینًا بقوانین ریاضیة صحیحة تمکنه من الوصول إلى الحل المطلوب". (ص11)

     ویُعرَّف حل المشکلة الریاضیة إجرائیًا بأنه: استخدام الطالب خطوات بولیا (فهم المشکلة، وضع خطة للحل، تنفیذ خطة الحل، التحقق من صحة الحل) وما تضمنته من مهارات فی       حل سؤال ریاضی یواجهه ویمثل له مشکلة مستخدمًا فی ذلک خبراته السابقة، وتحت إشراف وتوجیه من المعلم.

الإطار النظری للدراسة:

مفهوم المشکلة الریاضیة

       ذکر العساف(2006م) أن "کلمة مشکلة فی اللغة العربیة تعنی فی مدلولها أن هناک عقبة تحول بین الإنسان وبین أدائه لعمله مما یتطلب معالجة إصلاحیة"(ص23). وعرفت ماجدة صالح(2006م) المشکلة الریاضیة بأنها: "موقف یکون فیه الفرد أو المجموعة مطالبًا بإنجاز مهمة معینة بحیث لا توجد الخوارزمیة التی یمکن الوصول إلیها بسهولة، والتی من شأنها تحدید طریقة الحل لهذه المهمة تحدیدًا کاملاً"(ص282). وتعرف بثینة بدر(2007م) المشکلة الریاضیة بأنها: "موقف ریاضی یواجهه المتعلم ویثیر تحدیًا لتفکیره ولا یمکن حله بطریقه سریعة، بل یتطلب منه تفکیرًا فی کیفیة الوصول إلى الحل مستخدمًا لذلک ما اکتسبه من معلومات ومهارات سابقة، ویکون لدیه الدافع والإمکانیات لحله"(ص310). وعرف المشهدانی(2011م) المشکلة فی الریاضیات بأنها: "موقف جدید وممیز یواجه الفرد، ولا یکون له عند الفرد حل جاهز فی حینه".(ص44)

       ومما سبق یلحظ الباحث أن هناک شبه اتفاق على أن المشکلة الریاضیة یجب أن تستثیر تفکیر الطالب ولا یجد لها حلاً فی حینه، مما یضطره إلى إعمال عقله للوصول إلى حلها، وقد ذکر کلٌ من: (المغیرة، 1989م: 130)، و(القیسی، 2005م: 139)، و(الملیجی، 2006م: 191)، و(رصرص، 2007م: 22)، و(المشهدانی، 2011م: 50) بأن هناک مجموعة من الشروط للحکم على موقفٍ ما یواجه الشخص بأنه یمثل له مشکلة، یمکن توضیحها کالتالی:

1. أن یکون هناک هدف واضح ومحدد للشخص یسعى للوصول إلیه.
2. وجود عائق یمنع الشخص من الوصول لهدفه.
3. یبدأ الشخص فی التفکیر فی الموقف والبحث عن الحل للوصول للهدف.

       وعلى ذلک فإنه لیس کل موقف ریاضی یمثل مشکلة، إنما یعتمد ذلک على الشخص المواجه لهذا الموقف وما یمتلکه من خبرات، فقد یمثل موقف ما مشکلة لشخص معین ولکنه عند شخص آخر لا یمثل مشکلة، وقد لا یمثل مشکلة عند الشخص نفسه فی وقت لاحق،  فمثلاً عندما نطرح السؤال التالی: اشترى ولید علبة أقلام بمبلغ 5ریالات، ومجموعة دفاتر بمبلغ  8 ریالات. ما المبلغ الذی دفعه ولید لشراء الأقلام والدفاتر؟ هذا السؤال قد یمثل مشکلة لطالب فی الصف الثانی الابتدائی ولکنه لا یمثل مشکلة لطالب فی المرحلة الثانویة، وقد لا یمثل مشکلة لطالب آخر فی الصف الثانی فی الوقت نفسه، أو لا یمثل مشکلة للطالب نفسه بعد فترة من الزمن. ومن ثم فإن معیار الحکم على موقف ریاضی أنه یمثل مشکلة لشخص ما هی الشروط الثلاثة المذکورة سابقًا، وهذا ما یدحض القول الشائع بأن المشکلات اللفظیة والتطبیقات الهندسیة هی وحدها تمثل المشکلة فی الریاضیات.

مفهوم حل المشکلة الریاضیة

      عرّف الخلیفة(2005م) حل المشکلات بأنه عبارة عن: "النشاط والإجراءات التی یقوم بها المتعلم عند مواجهته لموقف مشکل للتغلب على الصعوبات التی تحول دون توصله إلى الحل (ص154). کما عرف راشد وخشان (2009م) حل المشکلة بأنه: "عملیة یستخدم فیها الفرد معلوماته السابقة، ومهاراته المکتسبة لتلبیة موقف غیر عادی یواجهه، وعلیه أن یعید تنظیم ما تعلمه سابقًا ویطبقه على الموقف الجدید الذی یواجهه".(ص100)

     ویعد وصول الطالب لحل المشکلة أمر هام، إلا أن الأهم من ذلک هو الإجراءات التی استخدمها للوصول إلى حل المشکلة.

العوامل التی تؤثر فی حل المشکلات الریاضیة

       یرى الباحث أن العوامل التی تؤثر فی عملیة حل الطلاب للمشکلات الریاضیة یمکن تقسیمها إلى أربعة أقسام کالتالی:

1. عوامل مرتبطة بالطالب. مثل: ضعف قدرة الطالب على قراءة وفهم المشکلة، ضعف خبراته السابقة، صعوبة اختیار خطوات الحل، الاتجاه السلبی نحو حل المشکلات الریاضیة.
2. عوامل مرتبطة بالمعلم. مثل: ضعف القدرات العلمیة لبعض المعلمین، قلة اهتمام المعلمین بحل المشکلات الریاضیة أو التنویع فیها، عدم تزوید الطلاب بالخطوات والمهارات والاستراتیجیات المناسبة لحل المشکلات والاکتفاء بالحلول الجاهزة، عدم تقدیم مشکلات ریاضیة من خلال أسئلة الاختبارات أو التکلیفات المنزلیة أو التطبیقات الفصلیة.
3. عوامل مرتبطة بطبیعة المشکلة الریاضیة. مثل: صعوبة المفردات اللغویة المستخدمة فی صیاغة المشکلة، کثرة عدد خطوات حل المشکلة، طول الصیاغة اللفظیة والکتابیة للمشکلة، کثرة ما هو مطلوب فی المشکلة.
4. عوامل أخرى. مثل: ضخامة المقرر الدراسی، قلة الوسائل التعلیمیة الملائمة، عدم مناسبة البیئة الصفیة، ضعف التفاعل بین المنزل والمدرسة.

        وعلى ذلک فمن الضرورة بذل الجهود على جمیع المستویات فی المنظومة التعلیمیة من أجل تجاوز هذه العوائق والصعوبات، وبصورة خاصة فیما یتعلق بالمعلمین؛ لأن المعلم هو قائد العملیة التربویة التعلیمیة، ومن ثم لابد أن یکون هذا القائد فی أفضل تهیئة وأحسن استعداد.

خطوات حل المشکلات الریاضیة

     یُعد جورج بولیا George Polya من الرواد فی مجال حل المشکلات وتعتبر الخطوات الأربع التی وضعها لحل المشکلات من أکثر ما کتب عن حل المشکلات رواجًا وأکثرها قبولاً فی الریاضیات (الأمین، 2004م: 249)، واعتبرها بولیا خطوات تساعد المتعلم على أن یصل للحل بنفسه عن طریق استدعاء معلوماته ومعارفه السابقة لیقوم بربطها معًا لیکتشف حل المشکلة (القیسی،2005م: 139). وهذه الخطوات وضعها بولیا فی کتابه المشهور "البحث عن الحل How to Solve it" وتتضمن کل خطوة مجموعة من الأسئلة والإرشادات:

الخطوة الأولى: فهم المشکلة

      أشار راشد وخشان (2009م: 102) أن هذه الخطوة تتضمن إجابات عن الأسئلة التالیة:

هل قرأت المشکلة أکثر من مرة؟ هل صغت المشکلة بعباراتک الخاصة؟ هل حددت المعطیات؟ هل عرفت المطلوب؟

الخطوة الثانیة: وضع خطة للحل

     وهی من أصعب المراحل حسب ما یراه بولیا، لذلک على المعلم أن یساعد الطالب فی الحصول على فکرة لحل المشکلة، وذلک بطرح العدید من الأسئلة عند مناقشته للطلاب والتی منها: هل تعرف مشکلة ذات صلة بمشکلتک؟ ما الاستراتیجیة المناسبة لحل هذه المشکلة؟ (العویشق، 2009م: 26)

الخطوة الثالثة: تنفیذ خطة الحل

      على المعلم عند تنفیذ خطة الحل أن یسأل طلابه الأسئلة التالیة: هل تأکدت من کل خطوة من خطوات الحل؟ هل تستطیع البرهنة على أنها صحیحة؟ هل راعیت کل الشروط؟ هل استخدمت کل المعطیات عند حل المشکلة؟ (الملیجی، 2006م: 193)

الخطوة الرابعة: التحقق من صحة الحل

      لمراجعة الحل والتحقق من صحته یوجه المعلم الأسئلة التالیة: هل تستطیع أن تتأکد من صحة الحل؟ هل الحل یحقق کل شروط المشکلة؟ هل هناک حلول أخرى؟ هل هناک طریقة أخرى للحل؟ هل تستطیع استعمال النتیجة أو الطریقة فی مشکلات أخرى؟ هل توصلت إلى صیغة عامة یمکن تطبیقها فی مواقف أکثر عمومیة؟ (الأمین، 2004م: 250)

الدراسات السابقة

      أجرى حسب الله (2005م) دراسة هدفت إلى التعرف على مدى تمکن الطالبات المعلمات بالسنة الرابعة شعبة معلمة فصل بکلیة المعلمین بالبیضاء جامعة عمر المختار بلیبیا من مهارات تدریس حل المشکلات الریاضیة، وتعرف فاعلیة برنامج مقترح فی تنمیة بعض هذه المهارات لدیهن، واتبعت الدراسة المنهج الوصفی التحلیلی وکذلک المنهج التجریبی، وتکونت عینة الدراسة من (21) طالبة یمثلن طالبات السنة الرابعة شعبة معلمة فصل بکلیة المعلمین، وکانت بطاقة الملاحظة هی أداة الدراسة، ومما توصلت إلیه نتائج الدراسة: ضعف مستوى أداء الطالبات المعلمات فی مهارات تدریس حل المشکلات الریاضیة.

     وهدفت دراسة راشد (2006م) إلى معرفة مدى ممارسة الطلبة المعلمین لخطوات بولیا فی حل المسألة الریاضیة أثناء التربیة العملیة من وجهة نظر طلبة "معلم الصف" فی جامعة الإسراء الخاصة بالأردن، وتمت الدراسة على کافة أفراد مجتمع الدراسة والبالغ عددهم (118) طالبًا وطالبة، واستُخدمت الاستبانة کأداة للدراسة، ومن أبرز النتائج ما یلی:

1. وجود بعض أوجه القصور فی ممارسة الطالب المعلم لخطوة "فهم المسألة الریاضیة".
2. وجود بعض أوجه القصور فی ممارسة الطالب المعلم لخطوة "البحث عن حل المسألة".
3. وجود قصور فی ممارسة الطالب المعلم لخطوة "تنفیذ الحل" من حیث قلة استخدام الحل الشفوی للمسألة.
4. وجود بعض أوجه القصور فی ممارسة الطالب المعلم لخطوة "مراجعة الحل والتوسع        فی مجاله".

       کما هدفتدراسة الزعبی(2008م) إلى تحدید مهارات التفکیر ما وراء المعرفی فی أثناء حل المسألة الریاضیة الهندسیة التی یستخدمها معلمو الریاضیات وطلبتهم فی المرحلة الأساسیة العلیا، ولتحدید هذه المهارات أُعدت أداة ملاحظة، وتکونت عینة الدراسة من (6) من معلمی (الصفوف: الثامن، والتاسع، والعاشر) مدارس لواء المزار الجنوبی فی الأردن وطلبتهم البالغ عددهم (147) طالبًا، وأظهرت النتائج أن المهارات فوق المعرفیة التی استخدمها المعلمون والطلبة ترکزت فی مجال التخطیط (تحدید هدف الدرس، ورسم شکل، وتحدید المعطیات والمطلوب، وإعطاء عبارات مکافئة للمعطیات والمطلوب، وتحدید النظریات والمعرفة السابقة)، أما فی مجال المراقبة والضبط فقد انحصرت المهارات فی إثبات صحة الخطوات والحفاظ على تسلسلها، أما فی مجال التقویم فقد استخدمت مهارات مراجعة الحل وتصویبه والحکم على مدى تحقق الهدف.

     وقام العویشق(2009م) بدراسة هدفت إلى اقتراح برنامج تدریبی لمعلمی الریاضیات فی المملکة العربیة السعودیة حول استراتیجیات حل المسألة وفاعلیته فی أدائهم وأداء طلابهم فی حل المسألة وفی تنمیة مهارات التفکیر فوق المعرفی لدیهم، ولیتحقق هدف الدراسة استخدم الباحث التصمیم شبه التجریبی، وکانت عینة الدراسة مکونة من (60) معلمًا من معلمی الصفوف العلیا بالمرحلة الابتدائیة وَ(599) من طلابهم، وتم تقسیم العینة إلى مجموعتین تجریبیة وضابطة، واستخدم الباحث مجموعة من الأدوات شملت: بطاقة ملاحظة لقیاس أداء المعلمین فی مجال حل المسألة، اختبارًا تحصیلیًا لقیاس أداء الطلاب فی مجال حل المسألة، مقیاس مهارات الطلاب فی التفکیر فوق المعرفی المتعلقة بحل المسألة، ومما أظهرته نتائج الدراسة أن مستوى أداء المعلمین فی تدریس حل المسألة الریاضیة کان ضعیفًا.

      أما العنزی(1430هـ) فأجرى دراسةهدفت إلى التعرف على فاعلیة برنامج تدریبی مقترح لإکساب معلمی الریاضیات بمدینة عرعر بالمملکة العربیة السعودیة استراتیجیات حل المشکلات على القدرة على حل المشکلات وعلى تنمیة التفکیر الریاضی والاتجاه نحو الریاضیات لدى تلامیذ الصف السادس الابتدائی، واستخدمت الدراسة المنهج شبه التجریبی، وتکونت عینة الدراسة من (10) معلمین و(236) تلمیذًا، واستخدم الباحث أدوات الدراسة التالیة: اختبارًا فی القدرة على حل المشکلات الریاضیة، اختبارًا فی التفکیر الریاضی، مقیاسًا للاتجاه نحو الریاضیات وبطاقة قیاس أداء المعلم فی استراتیجیات حل المشکلات الریاضیة، وتوصلت الدراسة إلى وجود فروق ذات دلالة إحصائیة عند مستوى (0.05) بین متوسطی درجات معلمی الریاضیات فی التطبیقین القبلی والبعدی لبطاقة قیاس أداء المعلم لاستراتیجیات حل المشکلات الریاضیة قبل البرنامج التدریبی وبعده لصالح التطبیق البعدی.

      وهدفت دراسة سیبولفیدا بیریز(Sepulveda Perez, 2006) إلى وصف معتقدات معلمی المرحلة الابتدائیة تجاه حل المسائل الریاضیة ومعرفتهم بحل هذه المسائل، وإلى معرفة العلاقة بین ممارساتهم التدریسیة وبین معتقداتهم، وتکونت عینة الدراسة من (47) معلمًا من معلمی المرحلة الابتدائیة بغوانیکا فی بورتوریکو، وتم اختیار أربعة معلمین من عینة الدراسة لتطبیق دراسة متعددة الحالات، واستخدم الباحث الأدوات التالیة: مقیاسًا لقیاس المعتقدات، اختبار حل المسائل الریاضیة، الملاحظة، المقابلة، وخلصت الدراسة إلى مجموعة من النتائج منها: أن اثنین من المعلمین قد أدوا حل المسائل الریاضیة بصورة مرضیة، ومعلمًا وجد قصور فی أدائه، والآخر قد فشل.

      وأجرى بتزل(Poetzl, 2007) دراسة هدفت إلى التعرف على أثر مشارکة معلمی الریاضیات فی المرحلة المتوسطة فی برنامج تطویر مهنی لعدة سنوات یرکز على حل المسائل، والتعرف على معتقداتهم حول قدرات الطلاب للمشارکة فی حل المسائل، وقد حدد المعلمون فی برنامج التطویر المهنی نوعین من الطلاب المتدنیة مستویاتهم وتم تسجیل هؤلاء الطلبة وهم مشارکون فی أنشطة حل المسائل الریاضیة على مدار العام، وتکونت عینة الدراسة من (5) معلمین، کما أن أدوات الدراسة المستخدمة کانت استبانة ومقابلات، ووضعت دراسات حالة لکل من المعلمین الخمسة، وتوصلت الدراسة إلى النتائج التالیة:

1. جمیع المعلمین الخمسة تعدلت تصوراتهم حول حل المسائل.
2. أغلب المعلمین أوضحوا رأیهم فی حل المسألة الریاضیة کتطبیق للریاضیات المکتسبة حدیثًا، کما أظهروا علامات من التحرک تجاه الرأی القائم على أن حل المسائل الریاضیة هی وسیلة لتعلم أفکار ریاضیة جدیدة.
3. زادت معرفة المعلمین عن قدرات الطلاب، مما أدى إلى ارتفاع توقعات المعلمین عن الطلاب وتوفیر المزید من الفرص للطلاب للمشارکة فی حل المشکلات.

      ومن خلال العرض السابق للدراسات یلاحظ الباحث أنها تناولت موضوع حل المشکلات ورکزت بصورة رئیسة على دور المعلم فی تدریس هذا الموضوع الهام والحیوی، وهی تتوافق فی ذلک مع دراسة الباحث وإن کان هناک اختلاف ففی بعض الجزئیات. وقد استفاد الباحث من هذه الدراسات فی بناء أداة الدراسة وفی تحسین منهجیة البحث.

منهج الدراسة:

     حیث أن هدف الدراسة هو التعرف على درجة إسهام معلمی الریاضیات فی تنمیة مهارات حل المشکلة الریاضیة لدى طلابهم، فإن المنهج المناسب لهذه الدراسة هو المنهج الوصفی المسحی، وهو کما عرفه عبیدات وآخرون(2005م) بأنه: "أسلوب فی البحث یتم من خلال جمع معلومات وبیانات عن ظاهرة ما أو حادث ما أو شیء ما أو واقع ما وذلک بقصد التعرف عن الظاهرة التی ندرسها وتحدید الوضع الحالی لها والتعرف على جوانب القوة والضعف فیها من أجل معرفة مدى صلاحیة هذا الوضع أو مدى الحاجة لإحداث تغییرات جزئیة أو أساسیة فیه". (ص203) 

مجتمع الدراسة:

       یتکون مجتمع هذه الدراسة من جمیع معلمی الریاضیات للصف الرابع الابتدائی فی المدارس الحکومیة بمدینة مکة المکرمة والتابعة للإدارة العامة للتربیة والتعلیم بمنطقة مکة المکرمة، ویبلغ عددهم (184) معلمًا وفقًا لإحصائیة شؤون المعلمین لعام 1434ه.

عینة الدراسة:

      تم اختیار العینة بالطریقة الطبقیة، حیث قام الباحث بتقسیم مجتمع الدراسة إلى طبقات بحسب مکاتب التربیة والتعلیم الخمسة (الشمال، الجنوب، الشرق، الغرب، الوسط) فی مدینة مکة المکرمة، وتم اختیار عینة عشوائیة من کل مکتب قوامها (5) معلمین لتتکون عینة الدراسة من (25) معلمًا یمثلون معلمی الریاضیات الذین یُدرِّسون طلاب الصف الرابع الابتدائی فی المدارس الحکومیة بمدینة مکة المکرمة.

أداة الدراسة:

      بما أن الدراسة تهدف إلى التعرف على درجة إسهام معلمی الریاضیات فی تنمیة مهارات حل المشکلة الریاضیة لدى طلابهم داخل غرفة الصف، فإن أداة القیاس المناسبة هی الملاحظة، وقد أعدّ الباحث بطاقة للملاحظة وفق الخطوات التالیة:

(1)- تحدید الهدف من بطاقة الملاحظة: الهدف من بطاقة الملاحظة هو قیاس درجة إسهام معلمی الریاضیات (عینة الدراسة) فی تنمیة مهارات حل المشکلة الریاضیة لدى طلابهم أثناء تدریسهم مقرر الریاضیات.

(2)- إعداد الصورة الأولیة لبطاقة الملاحظة: حدد الباحث المحاور الرئیسة لبطاقة الملاحظة (خطوات حل المشکلة الریاضیة) ومهارات کل محور، وذلک بالاستفادة من: الکتب العلمیة التی تناولت موضوع خطوات حل المشکلة الریاضیة وتحدیدًا خطوات بولیا، أدوات القیاس المستخدمة فی بعض الدراسات السابقة، کتاب الطالب ودلیل المعلم فی المقررات المطورة، آراء بعض مشرفی الریاضیات بالإدارة العامة للتربیة والتعلیم بمنطقة مکة المکرمة، خبرة الباحث الشخصیة من خلال عمله معلمًا ومشرفًا تربویًا لمادة الریاضیات.  

(3)- التحقق من صدق بطاقة الملاحظة: تم التحقق من صدق بطاقة الملاحظة بطریقة الصدق الظاهری ، حیثعُرضت بطاقة الملاحظة فی صورتها الأولیة على مجموعة          من المحکمین.

     ولقیاس درجة إسهام المعلم فی تنمیة مهارات حل المشکلة الریاضیة لدى طلابه، اختار الباحث مقیاس تقدیر لفظی یخضع لتدرج ثلاثی (عالی، متوسط، منخفض) یقابله تقدیرات کمیة (3، 2، 1) على الترتیب.

 (4)- التحقق من ثبات بطاقة الملاحظة: تم التحقق من ثبات بطاقة الملاحظة بطریقة اتفاق الملاحظین، حیث استعان الباحث بملاحظ متعاون (مشرف تربوی) تم تعریفه بالبطاقة وکیفیة استخدامها، وطُبِّقت الملاحظة على عینة استطلاعیة من خارج عینة الدراسة تتکون من (4) معلمین تمت زیارتهم فی الصف الرابع الابتدائی وفی دروس حل المشکلات الریاضیة لمدة حصة دراسیة کاملة، ومن ثم حساب معامل الثبات بین الباحث والملاحظ المتعاون بتطبیق معادلة کوبر Coper.

جدول (1)

النسب المئویة للاتفاق بین الباحث والملاحظ المتعاون لحساب ثبات بطاقة الملاحظة

       نلاحظ من الجدول (1) أن النسب المئویة للاتفاق بین الباحث والملاحظ المتعاون تقع ما بین (86٪-93٪) وبمتوسط (89٪) وهی نسبة عالیة مما یدل على ثبات الأداة وإمکانیة تطبیقها.

وبنهایة الخطوة الرابعة أصبحت بطاقة الملاحظة فی صورتها النهائیة.

     وحیث أن مقیاس التقدیر المستخدم فی بطاقة الملاحظة ثلاثی، فقد حدد الباحث المعیار المناسب لکل مستوى من مستویات التقدیر کالتالی: 

  طول الفترة= المدى ÷ عدد الفترات   

(حیث: المدى= أعلى قیمة – أدنى قیمة= 3-1= 2  وَ  عدد الفترات= 3)

طول الفترة= 2 ÷ 3= 0.666

ویمکن توضیح المعیار من خلال الجدول التالی:

جدول (2)

المعیار لکل مستوى من مستویات التقدیر

       من الجدول (2) یکون درجة إسهام المعلم فی تنمیة المهارة المطلوبة لدى طلابه بمستوى منخفض عندما تقع قیمة المتوسط الحسابی فی المعیار (1- 1.666)، بینما یکون درجة إسهامه فی تنمیة المهارة المطلوبة لدى طلابه بمستوى متوسط عندما تقع قیمة المتوسط الحسابی       فی المعیار (أکثر من 1.666- 2.333)، وعندما تقع قیمة المتوسط الحسابی فی المعیار         (أکثر من 2.333- 3) یکون درجة إسهامه فی تنمیة المهارة المطلوبة لدى طلابه بمستوى عالِ.

إجراءات تطبیق أداة الدراسة (بطاقة الملاحظة)

1. الحصول على خطابات رسمیة من أجل تسهیل مهمة الباحث فی تطبیق أداة الدراسة.
2. اختار الباحث (3) مشرفین تربویین من قسم الریاضیات بالإدارة العامة للتربیة والتعلیم بمنطقة مکة المکرمة لمساعدته فی تطبیق أداة الدراسة کملاحظین، وتم عقد لقاء معهم لتعریفهم بالهدف من الدراسة، وأداة الدراسة (بطاقة ملاحظة) وکیفیة استخدامها، مع تزویدهم بآلیة التنفیذ کتابیًا، وفتح قنوات الاتصال معهم لأی استفسار أو ملحوظات.

       ویعود سبب اختیار الباحث للملاحظین الثلاثة إلى کثرة عدد الزیارات الصفیة          (25معلمًا × زیارتین= 50 زیارة صفیة) حیث یحتاج الباحث - عند تطبیق الأداة لوحده- لتنفیذ هذه الزیارات إلى فصل دراسی کامل، لا سیما وأنه لیس فی کل درس یمکن تطبیق الأداة.

1. بعد اختیار عینة الدراسة (25) معلمًا)، وزع الباحث العینة على الملاحظین بحسب التوزیع الجغرافی للمدارس (مکاتب التربیة والتعلیم)، ویوضحها الجدول التالی:

جدول (3)

توزیع عینة الدراسة على الملاحظین

      وقد تواصل الملاحظون مع المعلمین المعنیین بزیارتهم؛ لتعریفهم بالهدف من الزیارة وأن المعلومات التی یتم جمعها تتصف بالسریة ولغرض البحث العلمی.

1. تم تطبیق أداة الدراسة (بطاقة الملاحظة) على العینة المختارة بواقع زیارتین لکل معلم، واستغرق التطبیق خمسة أسابیع دراسیة.
2. شارک الباحث کل ملاحظ من الملاحظین الثلاثة فی زیارتهم الأولى، وذلک لقیاس الثبات بین الباحث وکل ملاحظ منهم. وقد اتفق الباحث مع الملاحظین على أنه فی حالة لم یکن معامل الثبات مرتفعًا فستُلغى هذه الزیارة مع إعادة اللقاء مع الملاحظ مرة أخرى لتوضیح آلیة استخدام بطاقة الملاحظة وإشراکه بحضور إحدى المشاهدات للتعرف على کیفیة تدوین ممارسات المعلم فی البطاقة. وتم حساب معامل الثبات بین الباحث وکل ملاحظ باستخدام معادلة کوبر Coper.

جدول (4)

النسب المئویة للاتفاق بین الباحث والملاحظین الثلاثة لحساب الثبات بینهم

     نلاحظ من الجدول (5) أن النسب المئویة للاتفاق بین الباحث والملاحظین الثلاثة هی على الترتیب: 86٪، 86٪، 89٪ ، وهی تعتبر نسبًا جیدة ودالة على ارتفاع الثبات بین الباحث والملاحظین، ومن ثم یمکن للباحث الاعتماد علیهم فی تطبیق الأداة.

الأسالیب الإحصائیة المناسبة للدراسة:

     بعد جمع البیانات اللازمة من خلال بطاقة الملاحظة، تمت معالجة هذه البیانات إحصائیًا باستخدام برنامج الحزم الإحصائیة للعلوم الاجتماعیة (spss) کما یلی:

1-       استخدام معادلة کوبر Coper لحساب ثبات بطاقة الملاحظة، وحساب الثبات بین الباحث والملاحظین الثلاثة.

2-       استخدام التکرارات والنسب المئویة لوصف عینة الدراسة.

3-       استخدام المتوسطات الحسابیة والانحرافات المعیاریة للتعرف على درجة إسهام معلمی الریاضیات فی تنمیة مهارات حل المشکلة الریاضیة لدى طلابهم.

عرض النتائج وتفسیرها ومناقشتها

أولاً: الإجابة عن السؤال الأول

      للإجابة عن السؤال الأول ونصه: "ما درجة إسهام معلمی الریاضیات فی تنمیة مهارات فهم المشکلة ؟ " تم حساب المتوسط الحسابی والانحراف المعیاری لکل مهارة من مهارات خطوة فهم المشکلة، وترتیب کل مهارة على مستوى مهارات هذه الخطوة، ومستوى مهارات حل المشکلة ککل، وتحدید مستوى إسهام المعلمین فی تنمیة کل مهارة.

جدول (5)

 المتوسطات الحسابیة والانحرافات المعیاریة لدرجة إسهام معلمی الریاضیات فی تنمیة مهارات فهم المشکلة

     من جدول (5) یتضح أن المتوسطات الحسابیة لدرجة إسهام معلمی الریاضیات فی تنمیة مهارات فهم المشکلة تتراوح بین (1.120 وَ 2.320)، وقد حصلت المهارة رقم (2) "یکلف أحد الطلاب بقراءة المشکلة على مسامع الطلاب بصوت واضح مسموع" على أعلى ترتیب بمتوسط حسابی (2.320) ومستوى إسهام متوسط والترتیب الأول بالنسبة لمهارات حل المشکلة الریاضیة ککل، بینما حصلت المهارة رقم (9) "یناقش الطلاب فی کفایة المعطیات المقدمة لحل المشکلة" على أدنى ترتیب بمتوسط حسابی (1.120) ومستوى إسهام منخفض والترتیب (22) بالنسبة لمهارات حل المشکلة الریاضیة ککل.

     کما أن المتوسط الحسابی لدرجة إسهام معلمی الریاضیات فی تنمیة مهارات فهم المشکلة بلغ (1.671) ومستوى إسهام متوسط، وحصلت هذه الخطوة على الترتیب الأول بالنسبة لخطوات حل المشکلة الریاضیة.

     وتشیر هذه النتیجة إلى اهتمام بسیط من قبل معلمی الریاضیات بتنمیة مهارات خطوة فهم المشکلة لدى طلابهم، ویُعزی الباحث هذه النتیجة إلى:

1. أن هذه الخطوة تمثل نقطة البدایة التی على ضوئها یتحدد مدى نجاح الطالب فی الوصول إلى حل المشکلة، مما یجعل المعلمین یحرصون على إیضاحها.
2.  معرفة المعلمین السابقة بکثیر من مهارات هذه الخطوة، سهل علیهم تنمیتها لدى طلابهم.
3. تأکید المقررات المطورة على تحدید المعطیات والمطلوب فی المشکلة - کما فی الموضوعات الخاصة بحل المسألة- زاد من أهمیة هاتین المهارتین عند المعلمین وبالتالی عملوا على تفعیلها. 

       وتتفق هذه النتیجة مع نتیجة دراسة الزعبی(2008م) التی أوضحت أن جل المهارات فوق المعرفیة المستخدمة من قبل المعلمین أثناء حل المسألة تقع ضمن مجال التخطیط      (تماثل مهارات فهم المشکلة فی هذه الدراسة). وتختلف مع دراسة راشد(2006م) التی بینت أن الطالب المعلم یمارس خطوة فهم المسألة الریاضیة بدرجة عالیة، ودراسة العویشق(2009م) التی أظهرت ضعف أداء المعلمین فی تدریس جمیع خطوات حل المسألة ومنها خطوة       فهم المسألة.

ثانیًا: الإجابة عن السؤال الثانی

     للإجابة عن السؤال الثانی ونصه: "ما درجة إسهام معلمی الریاضیات فی تنمیة مهارات وضع خطة للحل؟" تم حساب المتوسط الحسابی والانحراف المعیاری لکل مهارة من مهارات خطوة وضع خطة للحل، وترتیب کل مهارة على مستوى مهارات هذه الخطوة، ومستوى مهارات حل المشکلة ککل، وتحدید مستوى إسهام المعلمین فی تنمیة کل مهارة.

جدول (6)

المتوسطات الحسابیة والانحرافات المعیاریة لدرجة إسهام معلمی الریاضیات

فی تنمیة مهارات وضع خطة للحل

      من جدول (6) یتضح أن المتوسطات الحسابیة لدرجة إسهام معلمی الریاضیات فی تنمیة مهارات وضع خطة للحل تتراوح بین (1.000 وَ 1.840)، وقد کان مستوى إسهام المعلمین فی تنمیة جمیع المهارات بصورة منخفضة عدا المهارة رقم (13) "یناقش الطلاب فی العملیات الریاضیة التی یمکن استخدامها للوصول إلى الحل" ذات أعلى ترتیب فکان مستوى إسهام المعلمین فی تنمیتها بصورة متوسطة وبمتوسط حسابی (1.840) والترتیب الخامس بالنسبة لمهارات حل المشکلة الریاضیة ککل، فی حین حصلت المهارة رقم(10)"یسأل الطلاب عن مشکلات سابقة مشابهة لهذه المشکلة" على أدنى ترتیب بمتوسط حسابی (1.000) والترتیب (26) بالنسبة لمهارات حل المشکلة الریاضیة ککل.

     کما أن المتوسط الحسابی لدرجة إسهام معلمی الریاضیات فی تنمیة مهارات وضع خطة للحل بلغ (1.434) ومستوى إسهام منخفض، وحصلت هذه الخطوة على الترتیب الثانی بالنسبة لخطوات حل المشکلة الریاضیة.

     وتشیر هذه النتیجة إلى قلة اهتمام معلمی الریاضیات بتنمیة مهارات خطوة وضع خطة للحل لدى طلابهم، ویُعزی الباحث هذه النتیجة إلى:

1. اعتقاد المعلمین بأن تنفیذ الحل یُغنی عن کتابة خطة الحل.
2. بعض القصور لدى المعلمین فی معرفة الاستراتیجیة المناسبة لحل المشکلة.
3. تخصیص حصة واحدة- غالبًا - لموضوعات حل المسألة أدى إلى عدم ترکیز المعلمین على هذه الخطوة.

     وتتفق هذه النتیجة مع نتیجة دراسة العویشق(2009م) التی أظهرت ضعف أداء المعلمین فی تدریس جمیع خطوات حل المسألة ومنها خطوة التخطیط لحل المسألة. وتختلف مع         دراسة راشد(2006م) التی أشارت إلى قصور الطالب المعلم فی ممارسة خطوة البحث عن       حل للمسألة.

ثالثًا: الإجابة عن السؤال الثالث

     للإجابة عن السؤال الثالث ونصه: "ما درجة إسهام معلمی الریاضیات فی تنمیة مهارات تنفیذ خطة الحل؟" تم حساب المتوسط الحسابی والانحراف المعیاری لکل مهارة من مهارات خطوة تنفیذ خطة الحل، وترتیب کل مهارة على مستوى مهارات هذه الخطوة، ومستوى مهارات حل المشکلة ککل، وتحدید مستوى إسهام المعلمین فی تنمیة کل مهارة.

جدول (7)

المتوسطات الحسابیة والانحرافات المعیاریة لدرجة إسهام معلمی الریاضیات فی تنمیة مهارات تنفیذ خطة الحل

       من جدول (7) یتضح أن المتوسطات الحسابیة لدرجة إسهام معلمی الریاضیات فی تنمیة مهارات تنفیذ خطة الحل تتراوح بین (1.000 وَ 1.680)، وقد کان مستوى إسهام المعلمین فی تنمیة جمیع المهارات بصورة منخفضة عدا المهارة رقم (17) "یطلب من الطلاب تنفیذ استراتیجیة حل المشکلة المحددة" ذات أعلى ترتیب فکان مستوى إسهام المعلمین فی تنمیتها بصورة متوسطة وبمتوسط حسابی (1.680) والترتیب السابع بالنسبة لمهارات حل المشکلة الریاضیة ککل، فی حین حصلت المهارة رقم (19) "یطلب من الطلاب کتابة التبریر فی کل خطوة من خطوات تنفیذ الاستراتیجیة" على أدنى ترتیب بمتوسط حسابی (1.000) والترتیب (26مکرر) بالنسبة لمهارات حل المشکلة الریاضیة ککل.

      کما أن المتوسط الحسابی لدرجة إسهام معلمی الریاضیات فی تنمیة مهارات تنفیذ خطة الحل بلغ (1.293) ومستوى إسهام منخفض، وحصلت هذه الخطوة على الترتیب الرابع کأدنى ترتیب بالنسبة لخطوات حل المشکلة الریاضیة.

      وتشیر هذه النتیجة إلى تدنٍ کبیر لدى معلمی الریاضیات فی تنمیة مهارات خطوة تنفیذ خطة الحل لدى طلابهم، ویُعزی الباحث هذه النتیجة إلى:

1. اهتمام المعلمین بالحل النهائی دون الترکیز على الإجراءات التی أدت إلى الحل.
2. إهمال المعلمین لدور الطلاب عند تنفیذ خطة الحل.
3. قلة إلمام المعلمین بآلیة تنفیذ بعض استراتیجیات حل المشکلات الریاضیة، حیث لم یسبق لهم الحصول على دورات خاصة باستراتیجیات حل المشکلات الریاضیة.
4. ضیق الفصول الدراسیة -کما فی المبانی المستأجرة- وزیادة أعداد الطلاب فی الفصول تعیق المعلمین من الإشراف على طلابهم وتوجیههم.

       وتتفق هذه النتیجة مع نتیجة دراسة الزعبی(2008م) التی أظهرت عدم تفعیل المعلمین لکثیر من المهارات فوق المعرفیة فی مجال المراقبة والضبط أثناء حل المسألة (تماثل مهارات تنفیذ خطة الحل فی هذه الدراسة)، ودراسة العویشق(2009م) التی أظهرت ضعف أداء المعلمین فی تدریس جمیع خطوات حل المسألة ومنها خطوة حل المسألة. وتختلف مع دراسة راشد(2006م) التی توصلت إلى ممارسة الطالب المعلم خطوة تنفیذ الحل بدرجة عالیة.

رابعًا: الإجابة عن السؤال الرابع

     للإجابة عن السؤال الرابع ونصه: "ما درجة إسهام معلمی الریاضیات فی تنمیة مهارات التحقق من صحة الحل؟" تم حساب المتوسط الحسابی والانحراف المعیاری لکل مهارة من مهارات خطوة التحقق من صحة الحل، وترتیب کل مهارة على مستوى مهارات هذه الخطوة، ومستوى مهارات حل المشکلة ککل، وتحدید مستوى إسهام المعلمین فی تنمیة کل مهارة.

جدول (8)

المتوسطات الحسابیة والانحرافات المعیاریة لدرجة إسهام معلمی الریاضیات فی تنمیة مهارات التحقق من صحة الحل

     من جدول (8) یتضح أن المتوسطات الحسابیة لدرجة إسهام معلمی الریاضیات فی تنمیة مهارات التحقق من صحة الحل تتراوح بین (1.000 وَ 1.760)، وقد کان مستوى إسهام المعلمین فی تنمیة جمیع المهارات بصورة منخفضة عدا المهارة رقم (23) "یطلب من الطلاب التأکد من أن المطلوب تم إیجاده" ذات أعلى ترتیب فکان مستوى إسهام المعلمین فی تنمیتها بصورة متوسطة وبمتوسط حسابی (1.760) والترتیب السادس بالنسبة لمهارات حل المشکلة الریاضیة ککل، فی حین حصلت المهارة رقم (28) "یشجع الطلاب على اقتراح مشکلات جدیدة یمکن حلها باستخدام استراتیجیة الحل التی تم استخدامها" على أدنى ترتیب بمتوسط حسابی (1.000) والترتیب (26مکرر) بالنسبة لمهارات حل المشکلة الریاضیة ککل.

     کما أن المتوسط الحسابی لدرجة إسهام معلمی الریاضیات فی تنمیة مهارات التحقق من صحة الحل بلغ (1.347) ومستوى إسهام منخفض، وحصلت هذه الخطوة على الترتیب الثالث بالنسبة لخطوات حل المشکلة الریاضیة.

     وتشیر هذه النتیجة إلى تدنٍ واضح لدى معلمی الریاضیات فی تنمیة مهارات التحقق من صحة الحل لدى طلابهم، ویُعزی الباحث هذه النتیجة إلى:

1. یرى المعلمون أن إیجاد الحل هو الهدف الرئیس الذی یسعون لتحقیقه، وبالتالی لا یوجهون طلبتهم إلى استخدام خطوة التحقق من صحة الحل.
2. قد یلاحظ المعلمون الملل على الطلاب عند مراجعة الحل والتحقق من صحته فلا یهتمون بهذه الخطوة.
3. إن فعّل المعلم هذه الخطوة فإن اهتمامه یکون على مهارة اختبار صحة الحل، ومع ذلک یتجاهل دور الطالب فی تحقیق هذه المهارة.

       وتتفق هذه النتیجة مع نتیجة دراسة الزعبی(2008م) التی ذکرت أن استخدام المعلمین للمهارات فوق المعرفیة فی مجال التقییم أثناء حل المسألة (تماثل مهارات التحقق من صحة الحل فی هذه الدراسة) کانت بصورة متواضعة جدًا، ودراسة العویشق(2009م) التی أظهرت ضعف أداء المعلمین فی تدریس جمیع خطوات حل المسألة ومنها خطوة التحقق من صحة الحل. وتختلف مع دراسة راشد(2006م) التی توصلت إلى ممارسة الطالب المعلم خطوة مراجعة الحل والتوسع فی مجاله بدرجة عالیة.

خامسًا: الإجابة عن السؤال الخامس

     للإجابة عن السؤال الخامس ونصه: "ما درجة إسهام معلمی الریاضیات فی تنمیة مهارات حل المشکلة الریاضیة ککل؟" تم حساب المتوسط الحسابی والانحراف المعیاری لمهارات کل خطوة من خطوات حل المشکلة الریاضیة، وترتیب کل خطوة على مستوى خطوات حل المشکلة الریاضیة، وتحدید مستوى إسهام المعلمین فی تنمیة مهارات کل خطوة.

 جدول (9)

 المتوسطات الحسابیة والانحرافات المعیاریة لدرجة إسهام معلمی الریاضیات فی تنمیة مهارات حل المشکلة الریاضیة ککل

     من جدول (9) یمکن ترتیب خطوات حل المشکلة الریاضیة تنازلیًا بحسب المتوسط الحسابی لدرجة إسهام معلمی الریاضیات فی تنمیة مهارات کل خطوة کالتالی: خطوة فهم المشکلة بمتوسط حسابی (1.671) ومستوى إسهام متوسط، ثم خطوة وضع خطة للحل بمتوسط حسابی (1.434) ومستوى إسهام منخفض، فخطوة التحقق من صحة الحل بمتوسط حسابی (1.347) ومستوى إسهام منخفض، وأخیرًا خطوة تنفیذ خطة الحل بمتوسط حسابی (1.293) ومستوى إسهام منخفض.              

     کما أن المتوسط الحسابی لدرجة إسهام معلمی الریاضیات فی تنمیة مهارات حل المشکلة الریاضیة ککل بلغ (1.461)، ومستوى إسهام منخفض.

     وتشیر هذه النتیجة إلى ضعف إسهام معلمی الریاضیات فی تنمیة مهارات حل المشکلة الریاضیة لدى طلابهم، ویُعزی الباحث هذه النتیجة إلى:

1. عدم حصول المعلمین على دورات أو برامج تدریبیة خاصة بحل المشکلات الریاضیة فی المقررات المطورة، وإن وجدت هذه البرامج فهی مضمنة ضمن حقیبة تدریبیة عامة.
2. بعض القصور فی المادة العلمیة عند بعض المعلمین الناشئ عن عدم تأهیلهم وإعدادهم للتعامل مع المشکلات الریاضیة.
3. استخدام معلمی الریاضیات لطرق تدریس تقلیدیة - غالبًا ما تکون إلقائیة - مرتکزها المعلم، وتهمل کلیًا دور الطالب.
4. قلة اهتمام المعلمین بتنمیة بعض مهارات حل المشکلة الریاضیة: کمهارات خطوة وضع خطة للحل، ومهارات خطوة التحقق من صحة الحل.
5. الاعتقادات الخاطئة عند فئة من المعلمین بعدم قدرة کثیر من الطلاب على حل المشکلات الریاضیة، أدى إلى عدم اهتمامهم بهذا الموضوع.
6. الزمن المخصص لموضوعات حل المسألة - حصة واحدة فی الغالب - لا یساعد المعلم على تحقیق أهداف الدرس.
7. ضیق الفصول الدراسیة، وزیادة أعداد الطلاب فی الفصول، وقلة الوسائل التعلیمیة... وغیرها عوامل تحد من قدرة المعلم على تنمیة مهارات حل المشکلة الریاضیة لدى طلابه.

     وتتفق هذه النتیجة مع نتیجة دراسة العویشق(2009م) والتی توصلت إلى أن مستوى أداء معلمی الریاضیات فی تدریس حل المشکلة الریاضیة کان ضعیفًا، ودراسة حسب الله(2005م) التی أظهرت ضعف مستوى أداء الطالبات المعلمات فی مهارات تدریس حل المشکلات الریاضیة. وتختلف مع دراسة راشد(2006م) التی توصلت إلى ممارسة الطلبة المعلمین لخطوات بولیا فی حل المسألة الریاضیة بدرجة عالیة، ودراسة العنزی(1430ه) التی أوضحت أن مستوى أداء المعلمین لاستراتیجیات حل المشکلات الریاضیة بدرجة متوسطة، ودراسة سیبولفیدا بیریز (Sepulveda Perez, 2006) ودراسة بتزل (Poetzl, 2007) اللتان أظهرتا نتائجهما ممارسة متوسطة للمعلمین فی حل المشکلات الریاضیة.   

أولاً: ملخص نتائج الدراسة 

     اعتمادًا على النتائج التی تم مناقشتها وتفسیرها، یلخص الباحث هذه النتائج فی أن درجة إسهام معلمی الریاضیات فی تنمیة مهارات فهم المشکلة لدى طلاب الصف الرابع الابتدائی کان بمستوى متوسط، فی حین أن درجة إسهامهم فی تنمیة مهارات: وضع خطة للحل، وتنفیذ خطة الحل، والتحقق من صحة الحل کان بمستوى منخفض، أما درجة إسهامهم فی تنمیة مهارات حل المشکلة الریاضیة ککل فکان بمستوى منخفض.

ثانیًا: توصیات الدراسة

   بناءً على نتائج الدراسة، یوصی الباحث بما یلی:

1. إثراء المقررات القائمة (التخصصیة) ضمن برنامج إعداد معلم الریاضیات بکل ما یتعلق بحل المشکلات.
2. تدریب المعلمین أثناء الخدمة على حل المشکلات الریاضیة (الخطوات، المهارات، الاستراتیجیات)، مع التوازن فی الجانبین النظری والتطبیقی أثناء التدریب.
3. إعداد دلیل متکامل لمعلم الریاضیات فی مجال حل المشکلات، لیکون أحد المراجع الرئیسة للمعلم فی هذا المجال.
4. الحرص على تکوین اتجاهات إیجابیة عند المعلمین والطلاب حول حل المشکلات الریاضیة، وذلک بنشر ثقافة حل المشکلات وتبیان أهمیتها ودورها الإیجابی فی حیاة الفرد والمجتمع على السواء، ویمکن أن یتم ذلک من خلال النشرات التربویة، والمحاضرات واللقاءات، والمطویات، والبرامج المدرسیة...الخ.
5. تخصیص مالا یقل عن حصتین لموضوعات حل المسألة فی مقررات الریاضیات المطورة، فالتوزیع الزمنی لموضوعات حل المسألة - حسب ما ورد فی دلیل المعلم- یُخصص لها فی الغالب حصة واحدة فقط، وهذا زمن لا یکفی المعلم للإیفاء بمتطلبات هذا الموضوع، وبالتالی أصبح من الضروری إعادة النظر فی محتوى مقررات الریاضیات المطورة.
6. الاستفادة من أداة الدراسة (بطاقة الملاحظة) من قبل المشرفین التربویین لتقویم أداء المعلم فی حل المشکلات الریاضیة.

ثالثًا: مقترحات الدراسة

   استکمالاً للدراسة الحالیة وانطلاقًا منها، یقترح الباحث إجراء الدراسات التالیة:

1. تحدید المعوقات التی تواجه معلم الریاضیات عند تدریس حل المشکلات الریاضیة فی المقررات المطورة.
2. مستوى أداء الطلاب فی حل المشکلات الریاضیة فی المقررات المطورة.
3. بناء برنامج تدریبی لتنمیة مهارات تدریس حل المشکلات الریاضیة لدى معلمی الریاضیات.
4. العلاقة بین ممارسة معلمی الریاضیات لمهارات تدریس حل المشکلات الریاضیة وتحصیل الطلاب فی الریاضیات.

المراجع

أولاً: المراجع العربیة

1-      أبو زینة، فرید کامل. (2003م). مناهج الریاضیات المدرسیة وتدریسها. (ط2). الکویت: مکتبة الفلاح.

2-      أبو لوم، خالد محمد. (2005م). أثر استخدام استراتیجیة بولیا القائمة على المنحى البنائی فی مقدرة طلبة الصف الثامن الأساسی على حل المسألة الریاضیة. مجلة القراءة والمعرفة، مصر. ع(46)، ص ص92-112.

3-      الأمین، إسماعیل محمد. (2004م). طرق تدریس الریاضیات: نظریات وتطبیقات. (ط2). القاهرة: دار الفکر العربی.

4-      بدر، بثینة محمد. (2007م). الأساسیات فی تعلیم الریاضیات. جدة: مکتبة کنوز المعرفة.

5-      الثبیتی، فوزیة عبدالرحمن. (2011م). تحدید صعوبات حل المشکلات الریاضیة اللفظیة لدى تلمیذات الصف الرابع الابتدائی من وجهة نظر معلمات ومشرفات الریاضیات بمدینة الطائف. رسالة ماجستیر غیر منشورة. کلیة التربیة، جامعة أم القرى، المملکة العربیة السعودیة.

6-      الجنید، جنید محمد. (2008م). تقویم أداء طلبة الصف الأول الثانوی فی حل المسألة فی الریاضیات. مجلة کلیة التربیة، الیمن. ع(19)، ص ص13-43.

7-      حسب الله، محمد عبدالحلیم. (2005م). فاعلیة برنامج مقترح قائم على استراتیجیات ما وراء المعرفة فی تنمیة مهارات تدریس حل المشکلات الریاضیة لدى الطالبات المعلمات بکلیة المعلمین بالبیضاء. مجلة کلیة التربیة، جامعة المنصورة، دمیاط، مصر. ع(47)، ص ص366-387.

8-      الخلیفة، حسن جعفر. (2005م). المنهج المدرسی المعاصر: مفهومه، أسسه، مکوناته، تنظیماته، تقویمه وتطویره. (ط5). الریاض: مکتبة الرشد.

9-      راشد، محمد إبراهیم. (2006م). مدى ممارسة الطلبة المعلمین لخطوات بولیا فی حل المسألة الریاضیة أثناء التربیة العملیة من وجهة نظر طلبة "معلم الصف". مجلة الزرقاء للبحوث والدراسات الإنسانیة، جامعة الزرقاء، الأردن. مج(8)، ع(2)، ص ص 139-167.

10-  راشد، محمد إبراهیم؛ خشان، خالد حلمی. (2009م). مناهج الریاضیات وأسالیب تدریسها للصفوف الرئیسیة. عمان: دار الجنادریة.

11-  رصرص، حسن رشاد. (2007م). برنامج مقترح لعلاج الأخطاء الشائعة فی حل المسألة الریاضیة لدى طلبة الصف الأول الثانوی الأدبی بغزة. رسالة ماجستیر غیر منشورة. کلیة التربیة، الجامعة الإسلامیة، فلسطین.

12-  الرویشد، نهى؛ العجمی، أمل. (2009م). فاعلیة تدریس بعض استراتیجیات حل المشکلة الریاضیة فی تنمیة التحصیل والتفکیر الریاضی والمعتقدات نحو حل المشکلة الریاضیة لدى تلمیذات الصف الخامس بدولة الکویت. مجلة کلیة التربیة، جامعة الإسکندریة، مصر. مج(19)، ع(3)، ص ص192-225.

13-  الزعبی، علی محمد. (2008م). رصد بعض مهارات التفکیر ما وراء المعرفیة المستخدمة من قبل معلمی الریاضیات وطلبتهم فی المرحلة الأساسیة العلیا فی الأردن فی أثناء حل المسائل الهندسیة. مجلة جامعة دمشق للعلوم التربویة، سوریا. مج(24)، ع(2)، ص ص333-357.

14-  سلیمان، رمضان رفعت. (2002م، أغسطس). فاعلیة برنامج فی الأنماط الریاضیة قائم على الاتجاهات العالمیة المعاصرة للطلاب المعلمین بکلیات التربیة على قدراتهم فی حل المشکلات الابتکاریة. بحث مقدم فی المؤتمر العلمی السنوی الثانی، الجمعیة المصریة لتربویات الریاضیات: البحث فی تربویات الریاضیات. القاهرة، مصر، ص ص417-465.

15-  السمیری، أحمد سالم. (1429ه). تحدید صعوبات تعلم الریاضیات لتلامیذ الصفوف العلیا بالمرحلة الابتدائیة واقتراح الاستراتیجیات المناسبة لحلها. رسالة دکتوراه غیر منشورة. کلیة التربیة، جامعة أم القرى، المملکة العربیة السعودیة.

16-  الشمرانی، صالح علوان. (1430ه). تقریر عن نتائج مشارکة المملکة فی دراسة الاتجاهات الدولیة فی العلوم والریاضیات TIMSS 2007. مرکز التمیز البحثی فی تطویر تعلیم العلوم والریاضیات، جامعة الملک سعود، الریاض.

17-  الشهری، محمد ردعان. (2007م). استخدام استراتیجیات ما وراء المعرفة فی تدریس الریاضیات لتنمیة مهارات حل المشکلة واختزال القلق الریاضی لدى طلاب الکلیة التقنیة بأبها. رسالة ماجستیر غیر منشورة. کلیة التربیة، جامعة الملک خالد، المملکة العربیة السعودیة.

18-  صالح، ماجدة محمود. (2006م). الاتجاهات المعاصرة فی تعلیم الریاضیات. عمان:  دار الفکر.

19-  الصباغ، سمیلة أحمد. (2006م). استراتیجیات حل المسألة الریاضیة لدى الطلبة المتفوقین فی المرحلة الأساسیة العلیا فی الأردن. مجلة الزرقاء للبحوث والدراسات الإنسانیة، جامعة الزرقاء، الأردن. مج(8)، ع(2)، ص ص1-30.

20-  عبیدات، ذوقان؛ عدس، عبدالرحمن؛ عبدالحق، کاید. (2005م). البحث العلمی: مفهومه وأدواته وأسالیبه. (ط9). عمان: دار الفکر.

21-  العساف، صالح حمد. (2006م). المدخل إلى البحث فی العلوم السلوکیة. (ط4). الریاض: مکتبة العبیکان.

22-  عفانة، عزو إسماعیل. (2001م، یولیو). أثر استخدام المدخل البصری فی تنمیة القدرة على حل المسائل الریاضیة والاحتفاظ بها لدى طلبة الصف الثامن الأساسی بغزة. بحث مقدم فی المؤتمر العلمی الثالث عشر، الجمعیة المصریة للمناهج وطرق التدریس: مناهج التعلیم والثورة المعرفیة التکنولوجیة المعاصرة. القاهرة، مصر، مج(2)، ص ص4-51.

23-  العنزی، متعب زعزوع. (1430ه). فاعلیة برنامج تدریبی مقترح لإکساب معلمی الریاضیات استراتیجیات حل المشکلات الریاضیة على تنمیة القدرة على حل المشکلات والتفکیر الریاضی والاتجاه نحو الریاضیات لدى طلابهم فی مدینة عرعر. رسالة دکتوراه غیر منشورة. کلیة التربیة، جامعة أم القرى، المملکة العربیة السعودیة.

24-  العویشق، ناصر حمد. (2009م). برنامج تدریبی مقترح لمعلمی الریاضیات فی المرحلة الابتدائیة حول استراتیجیات حل المسألة وفاعلیته فی أدائهم         وتنمیة مهارات التفکیر فوق المعرفی والتحصیل لدى طلابهم. رسالة دکتوراه غیر منشورة. کلیة التربیة، جامعة الملک سعود، المملکة        العربیة السعودیة.

25-  القیسی، تیسیر خلیل. (2005م). فاعلیة استخدام نموذج بولیا لحل المشکلات الریاضیة فی تحصیل طلبة المرحلة الأساسیة وتفکیرهم الریاضی فی الأردن. مجلة القراءة والمعرفة، مصر. ع(42)، ص ص134-160.

26-  لطیف، مجید مدهر؛ أبو لوم، خالد محمد. (2004م). العلاقة بین مستوى ممارسة          المعلم لمهارات تدریس المسألة الریاضیة اللفظیة للصف العاشر  الأساسی وتحصیل الطلبة فی الریاضیات. مؤته للبحوث والدراسات             (العلوم الإنسانیة والاجتماعیة)، جامعة مؤته، الأردن. مج(19)، ع(7)، ص ص11-29.

27-  المالکی، عوض صالح. (2011م). أثر استراتیجیات ما وراء المعرفة فی تنمیة حل المشکلات الریاضیة اللفظیة لدى طلاب الصف الأول المتوسط بمدینة مکة المکرمة. دراسات فی المناهج وطرق التدریس، مصر. ع(166)، ص ص54-99.

28-  مدین، السید مصطفى حامد. (2006م). مستویات أداء تلامیذ الصف الرابع الابتدائی بالمملکة العربیة السعودیة لمهارات حل المشکلات اللفظیة وعلاقتها ببعض العوامل الأخرى. مجلة البحوث النفسیة والتربویة، کلیة التربیة، جامعة المنوفیة، مصر. مج(21)، ع(1)، ص ص60-99.

29-  المشهدانی، عباس ناجی. (2011م). تعلیم المفاهیم والمهارات فی الریاضیات: تطبیقات وأمثلة. (الطبعة العربیة). عمان: دار الیازوری.

30-  المصری، ماجد موسى. (2003م). أثر استخدام استراتیجیة بولیا فی تدریس المسألة الریاضیة الهندسیة فی مقدرة طلبة الصف التاسع الأساسی على حلها فی المدارس الحکومیة التابعة لمحافظة جنین. رسالة ماجستیر غیر منشورة . کلیة الدراسات العلیا، جامعة النجاح الوطنیة، فلسطین.

31-  المغیرة، عبدالله عثمان. (1989م). طرق تدریس الریاضیات. الریاض: جامعة الملک سعود (عمادة شؤون المکتبات).

32-  الملیجی، رفعت محمد. (2006م). طرق تعلیم الریاضیات: النظریة والتطبیق. الریاض: مکتبة الرشد.

33-  النذیر، محمد عبدالله؛ خشان، خالد حلمی؛ السلولی، مسفر سعود. (2012م). استراتیجیات فاعلة فی حل المشکلات الریاضیة (تطبیقات على مرحلة التعلیم الأساس). الریاض: مرکز التمیز البحثی فی تطویر تعلیم العلوم والریاضیات بجامعة الملک سعود.

34-  الهویدی، زید. (2006م(أ)). أسالیب واستراتیجیات تدریس الریاضیات. العین: دار الکتاب الجامعی.

35-  الهویدی، زید. (2006م(ب)). استراتیجیات معلم الریاضیات الفعال. العین: دار الکتاب الجامعی.

36-  وزارة التربیة والتعلیم. (2009م). منشورات علمیة حول مشروع تطویر تعلیم الریاضیات والعلوم الطبیعیة (الریاضیات). الریاض: شرکة العبیکان للأبحاث والتطویر.

ثانیًا: المراجع الأجنبیة

37 - Poetzl, C. G. (2007). Middle school mathematics teachers' problem solving beliefs and practices in the school based teacher leader program. Phd. University of Delaware. Pro Quest Dissertations and Theses.

38 - Sepulveda Perez, S. (2006). Problem solving in mathematics: Beliefs, knowledge and teaching practices. Phd .University of Puerto Rico, Rio Piedras (Puerto Rico). Pro Quest Dissertations and Theses.