صعوبات مهارات التواصل الرياضيِّ لدى طلاب المرحلة المتوسطة – دراسة تحليلية ( بحث مستل من رسالة ماجستير )

               کلیة التربیة

        کلیة معتمدة من الهیئة القومیة لضمان جودة التعلیم

        إدارة: البحوث والنشر العلمی ( المجلة العلمیة)

    =======

صعوبات مهارات التواصل الریاضیِّ لدى طلاب

المرحلة المتوسطة – دراسة تحلیلیة

 ( بحث مستل من رسالة ماجستیر )

إعــــداد

الباحث / هانی طلال عایش اللحیانی

إشراف

 الدکتور/ خالد معدی أحمد عسیری

}     المجلد الرابع والثلاثون– العدد العاشر– أکتوبر 2018م {

http://www.aun.edu.eg/faculty_education/arabic

المستخلص

هدفت الدراسة إلى التعرف على صعوبات مهارات التواصل الریاضی (القراءة، الکتابة، الاستماع، التحدث، والتمثیل الریاضی) لدى طلاب المرحلة المتوسطة بمدینة مکة المکرمة، ولتحقیق هدف الدراسة اتبعت الدراسة المنهج الوصفی المسحی، وتمثلت الأداة فی استبانة تکونت من (40) عبارة تناولت صعوبات مهارات التواصل الریاضی، وطبقت الدراسة على عینة مکونة من (190) مشرفاً تربویاً ومعلماً للریاضیات بالمرحلة المتوسطة، وتم استخدام المتوسطات الحسابیة والانحرافات المعیاریة لتحدید درجة الصعوبة، کما تم استخدام اختبار مان وتنی للکشف عن الفروق تبعاً لمتغیر الوظیفة، وأظهرت نتائج الدراسة أن درجة صعوبات مهارات التواصل الریاضی بصورة عامة کانت متوسطة حیث بلغ المتوسط الحسابی العام (2,31) بانحراف معیاری (0,357)؛ وعلى مستوى المحاور کانت عالیة فی محوری التمثیل والتحدث الریاضی حیث بلغ المتوسط الحسابی على الترتیب (2,41 - 2,35)؛ بینما کانت متوسطة فی محاور الاستماع، والقراءة، والکتابة حیث بلغ المتوسط الحسابی على الترتیب (2,30- 2,25- 2,24). ولم تظهر النتائج وجود فروق دالة إحصائیة بین استجابات أفراد عینة الدراسة حول صعوبات مهارات التواصل الریاضی تعزى لاختلاف الوظیفة، وأوصت الدراسة باستخدام الاستراتیجیات المناسبة والأخذ بالحلول المقترحة لعلاج الصعوبات التی ظهرت بدرجة عالیة.

کلمات مفتاحیة: صعوبات تعلم؛ التواصل الریاضی؛ المرحلة المتوسطة.

Abstract

This study aimed at identifying the difficulties of mathematical communication skills (Reading, Writing, listening, Speaking, and Mathematical Representation) among intermediate school students in Makkah. In order to achieve the study objectives, the study applied the survey descriptive methodology. The tool consisted of a questionnaire consisting of two main sections. The first of which consisted of          (40) items dealing with the difficulties of mathematical communication skills. The study was applied to a sample of (190) educational supervisors and teachers of mathematics. The arithmetical averages and standard deviations were used to determine the degree of difficulty and the proposed solutions, and the Mann Whitney test was used to detect differences according to the function variable. The results of the study showed that the degree of difficulties of mathematical communication skills in general was medium which the general arithmetic mean was  (2. 31) with a standard deviation (0.357); at the level of the axes, it was high in the axis of representation and mathematical speech, where the arithmetic average was respectively (2.41 - 2.35); while it was medium in listening, reading, (2.30-2.25-2.24). The findings did not show significant statistical differences between the responses of the members of the study sample on the difficulties of mathematical communication skills or the proposed solutions to overcome them due to the difference of function. The study recommended using the appropriate strategies and the proposed solutions to address the difficulties that have emerged to a high degree.

Keywords: Learning Difficulties; Mathematical Communication; Intermediate Level                    

المقدمة :

     تُعد الریاضیات من علوم الحیاة ذات الأهمیة البالغة فی کافة المجالات ولجمیع الفئات؛ فهی علم تظهر فائدته فی تطبیقاته الحیاتیة والعلمیة المتعددة، مما یجعلها موضع اهتمام جمیع الأنظمة التعلیمیة التی تسعى باستمرار إلى تطویر تعلیمها؛ اسهاماً فی تنمیة المجتمعات ورقیها ومواکبتها للتقنیات والتطورات الحدیثة التی تُعد الریاضیات أحد أعمدتها الرئیسة.

     والریاضیات من العلوم الأساسیة التی تنمی الفرد على التفکیر فی مجالات الحیاة  المختلفة، فالریاضیات ضروریة لفهم فروع المعرفة الأخرى، التی تعتمد على الریاضیات        بطریقة أو بأخرى، ولیس هناک علم أو فن أو تخصص إلا وکانت الریاضیات مفتاحاً له،        وإنَّ ضبط وإتقان أی علم أو فن یرتبط بدرجة کبیرة بحجم الریاضیات التی هی أم العلوم وخادمتها (رصرص، 2007، ص2).

     وتتصف الریاضیات بأنها لغة عالمیة معروفة بتعابیرها ورموزها الموحدة عند         الجمیع تقریباً، وبذلک فإن لهذه اللغة مصطلحاتها ومفاهیمها والتمثیلات التی تعبر عن     محتواها فی صور معادلات أو متباینات أو رسوم بیانیة وغیرها، فتسهل التواصل الفکری        بین الناس، والتعامل مع المواقف والمشکلات الحیاتیة التی تفرضها متطلبات المجتمع              ( الشرفات وغنیمات، 2016، ص169).

     کما تتمیز الریاضیات بلغة خاصة قائمة على استخدام الرموز والمصطلحات فی         دراسة الکمیات وإدراک العلاقة بینهما، وتلعب مهارات التواصل الریاضی ( الاستماع، التحدث، القراءة، التمثیل، والکتابة ) دوراً حیویاً فی تعلیم وتعلم الریاضیات لیس فقط لکونها وسیلة تواصل، ولکن أیضاً کجزء من عملیات التفکیر، من حیث توحید الأفکار وإیجاد العلاقات، وکذلک حل المشکلات ( العید, 2014, ص10).

     ومن أهم الأدوار التی ینبغی أن یقوم بها المعلم کما یرى الحیلة (2014, ص 32) دوره فی أن یحبب طلبته فی العلم ویرغبهم فیه، والسعی لاکتسابه، وهو ما جعل المعلم مطالباً بإتقان عملیة التواصل التی تمکنه من أداء مهامه التعلیمیة بکفاءة ونجاح.

     ویعد التواصل الریاضی الذی یتم من خلاله توظیف مهارات اللغة من قراءة وتحدث واستماع، هدفاً رئیساً للمعرفة الریاضیة، یسهم تحقیقه فی فهم الریاضیات وتوظیفها فی المواقف الریاضیة والحیاتیة لحل المشکلات الریاضیة (الرفاعی،2001، ص3).

     إلا أن تعلیم وتعلم الریاضیات یصادف کثیراً من المشکلات، وعزوفاً من قبل بعض المتعلمین، وتدنِّیاً فی التحصیل، وقصوراً فی نقل المعرفة الریاضیة، ومنها التواصل الریاضی من سیاق إلى آخر بشکل واضح وملفت للنظر، وقد تکون لأسباب عدیدة ومختلفة ومن بینها المتعلم من حیث لا یشعر بحاجة وواقعیة ما یتعلمه، وهذا یعتبر صعوبات یجب الوقوف عندها ومعرفتها والتغلب علیها ( النباتی، 1435ه، ص2).

     وبناءاً على ذلک تسعى الدراسة الحالیة إلى تحدید صعوبات مهارات التواصل الریاضی الخمس وهی (القراءة، الکتابة، الاستماع، التحدث، والتمثیل الریاضی) لدى طلاب المرحلة المتوسطة من وجهة نظر مشرفی ومعلمی الریاضیات ووضع حلول مقترحة للتغلب على        تلک الصعوبات.

مشکلة الدراسة وأسئلتها :

 یعتبر التواصل الریاضی من المفاهیم الحدیثة التی تساعد على تحقیق الأهداف التی وضعت من أجلها، إلا إنَّ بعض الطلاب یعانون من ضعف فی مهارات التواصل الریاضی، وهذا ما أکدته نتائج دراسة کلٍّ من العوفی (2014)، الذراحی (2009)، وطافش (2011)، وکانت من أهم توصیاتهم الاهتمام بتنمیة مهارات التواصل الریاضی.

ولعلاج تدنِّی مستوى الطلاب فی الریاضیات یرى سلام (2004، ص3) أن على المعلم توضیح الحقائق الریاضیة فی جوٍّ من التواصل الریاضی عن طریق تدریسها فی مواقف ذات معنى، وتمثیلها حسیاً باستخدام لغة الریاضیات، ومهارات التواصل الریاضی المختلفة مما یساعد الطلاب على تبادل أفکارهم مع الآخرین، ویؤثر إیجابیاً فی فهم الطلاب للمادة، وتنشیط تفکیرهم، وذلک سیؤدی إلى علاج أخطاء الطلاب، وإلى تحسین مستوى تحصیلهم فی           مادة الریاضیات.

 ولمحاولة التغلب على تلک المشکلة، یسعى الباحث للإجابة على السؤال الرئیس التالی: ما صعوبات مهارات التواصل الریاضی لدى طلاب المرحلة المتوسطة من وجهة نظر مشرفی ومعلمی الریاضیات بمکة المکرمة؟

وتتفرع الأسئلة التالیة من السؤال الرئیس:

1. ما درجة صعوبات مهارات التواصل الریاضی لدى طلاب المرحلة المتوسطة من وجهة نظر مشرفی ومعلمی الریاضیات بمدینة مکة المکرمة؟
2. هل توجد فروق ذات دلالة إحصائیة عند مستوى الدلالة ( α ≤ 0,05) بین متوسطات استجابات أفراد عینة الدراسة حول صعوبات مهارات التواصل الریاضی تعزى لاختلاف الوظیفة (مشرف، معلم)؟

أهداف الدراسة :

1. التعرف على صعوبات مهارات التواصل الریاضی لدى طلاب المرحلة المتوسطة من وجهة نظر مشرفی ومعلمی الریاضیات.
2. الکشف عن دلالة الفروق بین متوسطات استجابات أفراد عینة الدراسة حول صعوبات مهارات التواصل الریاضی تعزى لاختلاف الوظیفة (مشرف، معلم).

أهمیة الدراسة :

1. أهمیة موضوع التواصل الریاضی کمطلب لتحسین تعلم الریاضیات فی ظل الصعوبات التی تواجه الطلاب فی تعلمها، ومواکبة المشکلات المتعلقة بتحسین تعلیم الریاضیات.
2. تحدید صعوبات مهارات التواصل الریاضی التی تواجه تعلیم الریاضیات.
3. تطویر تدریس المعلمین لمهارات التواصل الریاضی من حیث القضاء على الصعوبات، وتناول أفضل الطرق واستخدامها.
4. تفید نتائج هذه الدراسة القائمین على برامج إعداد معلمی الریاضیات والقائمین على برامج التدریب التربوی فی التعرف على هذه الصعوبات والتغلب علیها. 

حدود الدراسة :

التزمت الدراسة الحالیة بالحدود التالیة :

1. الحدود الموضوعیة: صعوبات مهارات التواصل الریاضی الخمس (القراءة، الکتابة، الاستماع، التحدث، التمثیل الریاضی).
2. الحدود البشریة: معلمی ومشرفی الریاضیات.
3. الحدود المکانیة: مدارس ومکاتب الاشراف بمدینة مکة المکرمة الحکومیة.
4. الحدود الزمانیة: الفصل الدراسی الأول من العام الدراسی 1438/ 1439هـ.

مصطلحات الدراسة :

1. الصعوبة: لغةً: مشتقة من (الصعب) بمعنى العسر ( الوجیز، ص364).

اصطلاحاً: تطلق على أنها: "أی ظرف بیئی أو ذاتی أو تعلیمی یعیق أو یُقیــــــــــد تعلــــــم التلامیــــذ" (Staultevs, 2006, p17).

1. التواصل الریاضی: عرفه نصر (2009) بأنه "قدرة المتعلم على استخدام لغة الریاضیات بما یتضمنه من رموز ومصطلحات وعلاقات وفهمها وتبادل الأفکار حولها مع الآخرین وتوضیحها من خلال أشکال التواصل المختلفة (الاستماع – التحدث - القراءة – الکتابة – التمثیل)"(ص1380).
2. صعوبات مهارات التواصل الریاضی إجرائیاً: هی تدنی قدرة طلاب المرحلة المتوسطة فی استخدام لغة الریاضیات، بما تحویه من مفردات ومصطلحات ورموز وتراکیب وعلاقات وفهمها، وتبادل الأفکار حولها مع الآخرین عن طریق مهارات التواصل الریاضی (القراءة، الکتابة، الاستماع، التحدث، والتمثیل الریاضی) ویمکن قیاسها من خلال أداة الدراسة المعدة لهذا الغرض.

الإطار النظری والدراسات السابقة

أولاً / الإطار النظری : یتناول هذا الجزء صعوبات تعلم الریاضیات، التواصل الریاضی، وصعوبات مهارات التواصل الریاضی.

المبحث الأول: صعوبات تعلم الریاضیات:

• ·        مفهوم صعوبات التعلم:

       اعتمدت وزارة التربیة والتعلیم (2004) فی المملکة العربیة السعودیة فی تعریفها لصعوبات التعلم على التعریفات السائدة فی الولایات المتحدة الأمریکیة، وخاصةً التعریف الفیدرالی، مع العلم أن التعریف یمیل بشکل عام إلى کونه تعریفاً إجرائیاً یضم خمسة عناصر على النحو التالی:

1. الاضطرابات فی الاستماع والتحدث والتفکیر.
2. الاضطرابات فی عملیة أو أکثر من العملیات النفسیة.
3. الاضطرابات فی فهم واستخدام اللغة المکتوبة أو المنطوقة.
4. الاضطرابات فی القراءة أو الإملاء أو الریاضیات.
5. ألا تکون الإعاقات الأخرى کالإعاقة العقلیة أو السمعیة أو البصریة أو غیرها سبباً فی ذلک الاضطراب (ص10).

       ویرى الباحث أن صعوبات التعلم هی کل ما یعیق المتعلم من إجراء العملیات المتصلة بالتعلم کالفهم أو التفکیر أو الإدراک أو الانتباه أو القراءة أو الکتابة أو التحدث أو إجراء        بعض العملیات الحسابیة، ویظهر ذلک من خلال انخفاض فی التحصیل الدراسی الفعلی عن المتوقع لهم.

• ·        تصنیف صعوبات التعلم:

      یرى عفانة وآخرون (2012، ص ص315-316) أن تصنیف صعوبات التعلم تنقسم إلى مجموعتین من الصعاب، وفیما یلی توضیح المقصود بکل منهما:

1. صعوبات التعلم النمائیة أو النفسیة: وتتمثل فی ضعف المهارات التی یحتاجها المتعلم، وضعف نمو القدرات والعملیات العقلیة المسؤولة عن التوافق الدراسی للطالب،       وتوافقه الشخصی والاجتماعی والمهنی وتشمل صعوبات ( الانتباه، الإدراک، التفکیر، التذکر وحل المشکلات ).
2. صعوبات التعلم الدراسیة: وتتمثل فی ضعف تعلم مهارات القراءة والکتابة والحساب والتهجئة والتعبیر الکتابی، وهی نتیجة ومحصلة لصعوبات التعلم النمائیة، أو أن قدرة التلمیذ على تلک المواد یؤثر على اکتساب التعلم وتظهر هذه الصعوبات لدى الأطفال فی مرحلة المدرسة.

 لذا یرى الباحث أن ضعف المهارات أو القدرات العقلیة لدى الفرد المتعلم کقدرته على الانتباه أو الإدراک أو التفکیر مسؤولة عن التوافق الدراسی لدى الطالب، وهی التی تؤدی به إلى صعوبة فی التعلم والتی تظهر فی مراحله الدراسیة.

المبحث الثانی: التواصل الریاضی

       من الضروری الاهتمام بعملیة التواصل الریاضی التی تُعد أحد الأهداف الرئیسة لتعلیم الریاضیات، حیث أصبحت من محتویات بناء المنهج والتقویم فی الریاضیات المدرسیة، ولکی تتمکن الریاضیات من تحقیق أهدافها ینبغی التغلب على صعوبات مهارات التواصل الریاضی التی تزید من فعالیة التعلم، وتحویل لغة الریاضیات إلى لغة للتواصل التی یُمکن من خلالها تنمیة التفکیر الریاضی وتحسین المستوى التحصیلی.

تعریف التواصل الریاضی:

      عرف بدوی (2007) التواصل الریاضی أنه "عملیة تعبیر عن الأفکار والفهم الریاضی بشکل شفهی، وبشکل بصری، وکتابة، وباستخدام الأعداد والرموز، والصور والرسوم البیانیة، والأشکال التوضیحیة والکلمات" (ص60). وتشیر اسراء درویش (2016) بأن التواصل الریاضی هو" تبادل الأفکار والمعلومات والآراء الریاضیة بین المعلم وطلبته، والطلاب أنفسهم عن طریق الاستماع والقراءة والتحدث" (ص28).

      ویرى الباحث أن التواصل الریاضی هو: قدرة المتعلم على استخدام المفاهیم والمصطلحات والرموز الریاضیة وتناول الأفکار الریاضیة حولها بطریقة صحیحة، ویکون ذلک من خلال مهارات التواصل الریاضی (القراءة، الکتابة، الاستماع، التحدث، والتمثیل الریاضی).

أهمیة التواصل الریاضی:

 أشار بدوی (2003، ص 276) إلى تقریر المعاییر الأمریکیة (NCTM)، التی حددت أهمیة تنمیة مهارات التواصل الریاضی وفقاً لمراحل العمر، حیث أن الفئة العمریة التی تتضمن طلاب المرحلة المتوسطة، ینبغی أن یکون الطلاب فیها قادرین على:

1. وصف وتوضیح تفکیرهم عن الأفکار والعلاقات الریاضیة.
2. صیاغة المصطلحات الریاضیة والتعبیر عن التعمیمات التی یکتشفونها عن               طریق الاستنتاج.
3. التعبیر عن الأفکار الریاضیة شفهیاً أو کتابةً.
4. فهم النصوص الریاضیة المقروءة.
5. طرح التساؤلات الواضحة حول الریاضیات التی یتم قراءتها أو الاستماع إلیها.
6. إدراک قوة وقیمة الرموز الریاضیة ودورها فی نمو المعرفة الریاضیة.

المبحث الثالث: صعوبات مهارات التواصل الریاضی:

      یتناول هذا المبحث الصعوبات التی تعوق کل مهارة من مهارات التواصل الریاضی، فالصعوبات التی تواجه مهارات التواصل الریاضی متعددة، منها صعوبة قراءة وصعوبة کتابة وصعوبة تذکر أو معرفة لمعانی الرموز الریاضیة، وکذلک بطء استیعاب الحقائق، أو صعوبات فی الاستماع والتحدث، ویتناول هذا المبحث تلک الصعوبات بشیء من التفصیل.

- صعوبات مهارات التواصل الریاضی:

تتعدد الصعوبات التی تواجه طلاب المرحلة المتوسطة فی مهارات التواصل الریاضی، ویمکن استعراض بعض هذه الصعوبات فیما یلی:

1. صعوبات مهارات القراءة الریاضیة:

      إن من أهم المشکلات التی تواجه الطلبة فی مادة الریاضیات، هی الضعف فی قراءة وفهم المسائل الریاضیة، وعدم معرفة معطیات المسألة الریاضیة والمطلوب منها، المتمثلة فی فهم الرموز والمصطلحات الریاضیة، ویعد ذلک عائقاً للطلبة عند حل المسألة الریاضیة، ویُؤثر على تحصیلهم.

      تُعد صعوبات مهارات القراءة الریاضیة من الصعوبات المؤثرة لمهارات التواصل الریاضی، حیث أشار إلیها جحلان والبلاونة ( 2012، ص78) بشکل عام ومن أهمها:

-           صعوبة قراءة الرموز الریاضیة والتردد أمام الکلمات غیر المألوفة وصعوبة نطقها.

-           صعوبة تذکر أو معرفة معانی الرموز الریاضیة.

-           بطء استیعاب الحقائق الریاضیة.

-           الأداء الضعیف فی مراجعة دروس الریاضیات السابقة.

ب-  صعوبات مهارات الکتابة الریاضیة:

    من أهم الصعوبات التی یواجهها الطلبة فی مهارات الکتابة الریاضیة، کتابة خطوات حل المسألة الریاضیة وحتى تتم الفائدة المرجوة من کتابة خطوات حل المسألة الریاضیة، کما أشار شو (Shaw, 1983, p17) لابد من الطلبة اتباع ثلاث مراحل أساسیة وهی:

-      ما قبل الکتابة: تحفیز العقل للحصول على الأفکار المطلوبة.

-      أثناء الکتابة: التنظیم المنطقی لکتابة الأفکار الریاضیة.

-      إعادة الکتابة: تقییم وتدقیق ما تمت کتابته.

ج-   صعوبات مهارات الاستماع الریاضی:

     هناک بعض المشاکل والعوائق من قبل استماع الطلبة، لما یقوم المعلم بشرحه وتوضیحه، ویشیر جحلان والبلاونة (2012، ص ص145-146) إلى بعض منها على النحو الآتی:

-      عوائق تتعلق بالجسد ناتجة عن مشکلات فی السمع تعیق عملیة الاستماع للمعلم فی الحصة، مما یجعل المعلم غیر محدد بدقة لحجم ونوع المشکلة التی یعانی منها الطالب.

-      القضایا والمشاکل الشخصیة للطالب، قد تؤثر فی إشغال البال وضعف الترکیز فی حدیث المعلم نتیجة التشویش الذهنی للطالب.

-      عدم الصبر والمثابرة على الاستماع، ویعود ذلک إلى عوامل عدة منها الاتجاه السلبی نحو الریاضیات أو طول وقت الحصة.

-      عدم وضوح ألفاظ المعلم وانخفاض صوته.

-      الحدة والعصبیة: إن استخدام لغة صارمة فی التعامل مع الطلبة قد یسبب ارتباک الطلبة وعدم الترکیز فی الحدیث وأخذ الکلام على غیر معناه.

-      اختلاف اللهجات وتباین المعانی بین المعلم والطلبة قد یعیق عملیة الاستماع الجید والفعال، وقد تکون الریاضیات أقل المواد التی تعانی من هذه المشکلة نتیجة التجرید والعالمیة التی تمتاز بها لغة الریاضیات.

-      اللامبالاة وعدم الاهتمام من الطلبة.

-      عدم مراعاة المعلم للفروق الفردیة بین الطلبة، قد یؤثر فی عملیة التواصل بینه وبین الطلبة ومنها الاستماع.

د-  صعوبات مهارات التحدث الریاضی:

     یشیر جحلان والبلاونة (2012، ص ص164-165) إلى بعض صعوبات التواصل الریاضی اللفظی (التحدث) داخل غرفة الصف، على النحو التالی:-

-      صعوبة تحدث الطلبة بطلاقة أمام زملائهم، ویعود ذلک إلى أسباب عدة منها          الخوف والخجل.

-      عدم الترکیز والاهتمام بحدیث الآخرین، وعدم الاستماع بوعی لما یتحدثون به.

-      عدم استخدام الطرق والاستراتیجیات اللازمة التی تنمی التواصل اللفظی لدی الطلبة فی غرفة الصف.

-      کثرة أعدد الطلبة فی الصفوف الدراسیة قد یکون عائقاً أمام المعلم أو الطلبة لممارسة التواصل اللفظی.

-      صعوبات فی مهارات التواصل الأخرى عند الطلبة أهمها صعوبات فی قراءة الألفاظ    والرموز الریاضیة.

ه-  صعوبات مهارات التمثیل الریاضی:

      قد یواجه الطلبة بعض الصعوبات فی التعامل مع المواقف الریاضیة التی تحتاج إلى تمثیل وترجمة من موقف إلى آخر، ویشیر جحلان والبلاونة (2012، ص ص196-197) أبرز هذه الصعوبات منها:

-      عدم معرفة المطلوب والهدف من التمثیل الریاضی لدى بعض الطلبة.

-      عدم إدراک بعض الرموز والمصطلحات الریاضیة والتی یصعب تحویلها لصورة أخرى.

-      عدم الدقة فی التمثیل قد لا یعطی نتائج سلیمة.

-      یحتاج التمثیل الریاضی لوقت أطول لإنجازه.

-      صعوبة متابعة التمثیل الریاضی من قبل المعلم.

      ویرى الباحث أن عدم معرفة الطلاب ببعض الرموز والصیغ الریاضیة، یؤدی بهم إلى ضعفهم فی التمثیل الریاضی وهو ما یعانی منه أغلب الطلبة أثناء دراستهم للریاضیات على الرغم من قدرة التمثیل على مساعدة الطلبة فی الوصول إلى الحل الصحیح، وکما یتضح أیضاً أن تدریب الطلبة على استخدام التواصل الریاضی التمثیلی یعطی مؤشراً حقیقیاً عن العملیات التفکیریة لدى الطلبة ومدى فهمه للمشکلة، کما یساعده فی  عملیة الحل نفسها ویسهم فی فاعلیة التعلم داخل غرفة الصف.

 ثانیاً / الدراسات السابقة:

-  هدفت دراسة الظفیری (2016) إلى تحدید الصعوبات التی یواجهها تلامیذ الصف الخامس الابتدائی فی تعلم المفاهیم والمهارات الهندسیة، واقترح بعض الحلول المساعدة للتغلب على تلک الصعوبات، واتبعت المنهج الوصفی، باستخدام اختبار تشخیصی لقیاس الصعوبات، واستبانة لمعلمی ومشرفی الریاضیات، تم تطبیقها على عینة من مشرفی ومعلمی الریاضیات للصف الخامس الابتدائی والبالغ عددهم (98) معلماً ومشرفاً وطلاب الصف الخامس الابتدائی البالغ عددهم (430) طالباً فی حفر الباطن، وکان من أبرز النتائج ظهور صعوبات بدرجة مرتفعة فی الوحدة المستخدمة من وجهة نظر عینة البحث، ومن خلال نتائج الاختبار التشخیصی للحلول المقترحة للتغلب على الصعوبات هی استخدام الوسائل التعلیمیة المحسوسة، وکذلک الأمثلة المتنوعة، وقد أوصى إلى العمل على التشخیص المستمر لصعوبات تعلیم المفاهیم والمهارات الهندسیة لدى الطلاب والمبادرة لحلها.

-  هدفت دراسة النحال (2016) إلى معرفة أثر توظیف استراتیجیة الرؤوس المرقمة معاً على تنمیة مهارات التواصل ودافع الإنجاز فی الریاضیات لدى طالبات الصف السابع الأساسی بغزة، واتبعت المنهج التجریبی، واستخدمت أداة الدراسة اختبار مهارات التواصل الریاضی وبطاقة ملاحظة مهارات التواصل الریاضی ومقیاس دافع الإنجاز، وطبقت الدراسة على عینة عددها(84) طالبة موزعة على فصلین دراسیین من مدرسة الرافدین الأساسیة ( أ ) التابعة لمدیریة غرب غزة، وکانت نتائجها توجد فروق ذات دلالة إحصائیة عند مستوى الدالة ( α ≤0,01) بین متوسط درجات طالبات المجموعة التجریبیة ومتوسط قریناتهن فی المجموعة الضابطة فی(اختبار مهارات التواصل الریاضی-بطاقة ملاحظة مهارات التواصل الریاضی-مقیاس دافع الإنجاز فی الریاضیات) لصالح طالبات المجموعة التجریبیة، وقد أوصت بضرورة استخدام المعلمات لاستراتیجیة الرؤوس المرقمة معاً أثناء التدریس.

-  کما قامت عاشور (2015) دراستها التی هدفت إلى بناء برنامج قائم على نظریة الحل الإبداعی للمشکلات المعروفة باسم نظریة تریز، ومعرفة فاعلیته فی تنمیة مهارات التفکیر الإبداعی ومهارات التواصل الریاضی، واستخدمت المنهج التجریبی، باستخدام أداة الدراسة اختبار مهارات التفکیر الإبداعی، واختبار مهارات التواصل الریاضی، وتکونت العینة من طلاب الصف الخامس الأساسی من مدرسة ذکور البریج الابتدائیة " ب " حیث بلغ عددهم (82 ) طالباً، و(41) طالباً للمجموعة التجریبیة، و(41) طالباً للمجموعة الضابطة، وتوصلت الدراسة إلى النتائج التالیة : توجد فروق ذات دلالة إحصائیة بین متوسطی درجات طلاب المجموعة التجریبیة والمجموعة الضابطة فی اختبار مهارات التفکیر الإبداعی لصالح المجموعة التجریبیة، وتوجد فروق ذات دلالة إحصائیة بین متوسطی درجات طلاب المجموعة التجریبیة والمجموعة الضابطة فی اختبار مهارات التواصل الریاضی لصالح المجموعة التجریبیة.

-  فیما هدفت دراسة النباتی (2014) إلى تحدید صعوبات تعلم المهارات العددیة لدى تلامیذ المرحلة الابتدائیة والحلول المساعدة لها من وجهة نظر معلمی ومشرفی الریاضیات، وإیجاد الفروق الدالة للعینة، واستخدام المنهج الوصفی المسحی، واعتمد على الاستبانة کأداة للدراسة، وتکونت عینة الدراسة من (176) معلماً، و(20) مشرفاً، ومن أبرز نتائجها: أن درجة صعوبات تعلم مهارات ( الجمع، طرح، ضرب، وقسمة) الأعداد الطبیعیة لدى تلامیذ المرحلة الابتدائیة من وجهة نظر معلمی ومشرفی الریاضیات بدرجة متوسطة، وأیضاً وجود فروق ذات دلالة إحصائیة بین استجابات عینة الدراسة حول الحل المناسب لصعوبات تعلم المهارات العددیة.

التعقیب علی الدراسات السابقة :

       تم الاستفادة من الدراسات السابقة فی تکوین صورة مبدئیة عن صعوبات التعلم بشکل عام، وصعوبات التعلم الریاضیات بشکل خاص، کذلک فی إثراء الإطار النظری للدراسة الحالیة، وصیاغة مشکلة الدراسة، والأهداف، وبناء نموذج الاستبانة، وذلک بانتقاء بنود الاستبانة، واختیار عینة الدراسة، وجمع المعلومات، والبیانات، وتحلیلها، وکذلک فی التحلیلات الإحصائیة،  وتفسیر النتائج والتوصیات، کما تعتبر بعض الدراسات السابقة نقطة بدایة للدراسة الحالیة.

       وتتمثل القیمة النهائیة للدراسة فی تأکیدها على أهمیة اتباع قواعد المنهج العلمی الحدیث فی رصد الظواهر المختلفة، لیتسنى الوصول إلى نتائج موضوعیة یمکن أن یُبنى علیها توصیات إجرائیة تفید المؤسسات التعلیمیة فی التصدی للمواقف الطارئة والمفاجئة فی تدریس الریاضیات والتی قد تتسبّب فی ضعف عملیة تعلم الریاضیات وتعلم مهارات التواصل الریاضی.

       وتتمیز الدراسة الحالیة عن الدراسات السابقة، بالتعرف على صعوبات مهارات التواصل الریاضی التی تواجه طلاب المرحلة المتوسطة من حیث القضاء علیها، ووضع حلول مناسبة لها، وذلک للتعامل مع المواقف الحیاتیة لتحقیق أعلى درجات الرقی العلمی والمعرفی، وبناء الفرد القادر على متطلبات الواقع.

الطریقة والإجراءات

‌أ.        مجتمع الدراسة: تکون مجتمع الدراسة من جمیع المشرفین التربویین على تعلیم الریاضیات بالمرحلة المتوسطة بمدینة مکة المکرمة وعددهم (19) مشرفاً، وکذلک جمیع معلمی الریاضیات بالمرحلة المتوسطة وعددهم (339) معلماً وفقاً لإحصائیة إدارة التعلیم بالعاصمة المقدسة للعام الدراسی 1438/1439هـ.

‌ب.       عینة الدراسة: تم توزیع أداة الدراسة على المشرفین التربویین بأسلوب المسح الشامل لقلة عددهم وسهولة الوصول لهم جمیعاً، بینما تم توزیع عینة المعلمین بأسلوب العینة الطبقیة العشوائیة؛ حیث إن مجتمع الدراسة مقسم إلى خمسة مکاتب تعلیمیة بما یحقق الفرصة فی الوصول لجمیع المکاتب، لإمکانیة تعمیم النتائج مستقبلاً؛ وقد تمثلت العینة فی (200) معلم، بواقع (40) معلماً من کل مکتب من مکاتب التعلیم الخمسة بمکة المکرمة، ویمثلون ما نسبته (59%) من مجتمع الدراسة الکلی، وقد تم توزیع الاستبانة على (219) مشرفاً تربویاً ومعلماً للریاضیات بالمرحلة المتوسطة.

      وقد تعذر استرجاع (18) استبانة من المعلمین، کما اتضح عند فرز النسخ المستردة أن (11) استبانة من استبانات المعلمین غیر مکتملة البیانات، فتم استبعادها، وبذلک أصبح العدد النهائی (190) مشرفاً ومعلماً یمثلون ما نسبته (53,1%) من مجتمع الدراسة.

‌ج. أداة الدراسة :

  تم إعداد أداة الدراسة وفقاً للخطوات التالیة:  

1. الهدف من الأداة:

هدفت الدراسة لتحدید صعوبات مهارات التواصل الریاضی، ولتحقیق الهدف أعد  الباحث استبانة.

1. الصورة الأولیة للأداة:

     تم إعداد الاستبانة فی صورتها الأولیة بعد مراجعة الأدبیات والدراسات السابقة المرتبطة بموضوع الدراسة، حیث تکونت الأداة من مجموعة من العبارات التی تقیس درجة صعوبات مهارات التواصل الریاضی بالمرحلة المتوسطة، وعددها (44) عبارة موزعة على خمسة         محاور فرعیة.

1. تحدید المقیاس ومعیار الاجابة:

      بعد إعداد الاستبانة فی صورتها الأولیة تم تحدید مقیاس الاستجابة للعبارات وفقاً لمیزان تقدیر لیکارت الثلاثی (عالیة، متوسطة، منخفضة)، بدرجات (3، 2، 1) على التوالی، وبذلک ینحصر المتوسط الحسابی لتقدیر الاستجابات بین (1-3)؛ ولحساب المتوسطات المقابلة للدرجات، تم طرح أقل متوسط من أعلى متوسط (3-1=2)، وقسمة الناتج على عدد فئات الاستجابة (2÷3= 0,67)، وبذلک تم تحدید طول الفئة، وفی ضوئها أمکن تحدید المتوسطات الحسابیة المقابلة لدرجات الاستجابة کما فی الجدول (1).

جدول (1):

معیار الحکم على درجة الاستجابة

1. الصدق والثبات: بعد أعداد الاستبانة فی صورتها الأولیة وتعدیل بعض العبارات، أصبحت جاهزة للتأکد من صدقها وثباتها، حیث تم التأکد من الصدق بطریقتی الصدق الظاهری، و الاتساق الداخلی، وتم التأکد من الثبات باستخدام معادلة کرونباخ ألفا، ذلک على النحو التالی: 

‌أ.      الصدق الظاهری: تم التأکد من الصدق الظاهری للاستبانة بعرضها على مجموعة من المحکمین المتخصصین، حیث طُلب منهم إبداء رأیهم فی الاستبانة من حیث مناسبة محاورها، وانتماء العبارات للمحاور، ووضوح العبارات وسلامة صیاغتها، مع إضافة أو حذف أو تعدیل ما یرونه مناسباً لتحقیق أهداف الدراسة، تم اعتبار نسبة الاتفاق (80%).

‌ب.  صدق الاتساق الداخلی: للتأکد من صدق الاتساق الداخلی للاستبانة تم تطبیقها على عینة استطلاعیة مکونة من (30) معلماً (تم استبعادهم عند التطبیق النهائی للأداة)، بعد ذلک تم حساب قیم الارتباط بین العبارات وأبعادها، وفیما یلی توضیح نتائج الارتباط.

جدول (2):

قیم ارتباط بیرسون لعبارات صعوبات مهارات التواصل الریاضی ( ن= 30)

* دالة عند مستوى الدلالة (0,05)             ** دالة عند مستوى الدلالة (0,01)

      یتبین من الجدول (2) أن جمیع عبارات صعوبات مهارات التواصل الریاضی کانت دالة إحصائیاً، حیث تراوحت قیم الارتباط لمحور صعوبات مهارات القراءة بین (0,375- 0,801)، وتراوحت قیم الارتباط لمحور صعوبات مهارات الکتابة بین (0,489- 0,810)، بینما تراوحت قیم الارتباط لمحور صعوبات مهارات الاستماع بین (0,652- 0,834)، وأما محور صعوبات مهارات التحدث فقد تراوحت قیم ارتباطه بین (0,485- 0,808)، بینما تراوحت قیم الارتباط لمحور صعوبات مهارات التمثیل بین (0,746-0,902)، وکانت جمیع القیم دالة عند مستویی الدلالة (0,05) و(0,01), وأما ارتباط المحاور مع الدرجة الکلیة للصعوبات فقد تراوحت بین (0,605- 0,861)، وجمیعها قیم دالة عند مستوى الدلالة (0,01).

‌ج.   ثبات الاستبانة: تم التأکد من ثبات الاستبانة بعد تطبیقها على العینة الاستطلاعیة، ثم حساب معادلة کرونباخ ألفا، والجدول (3) یوضح نتائج الثبات.

جدول (3):

ثبات أداة الدراسة باستخدام معادلة کرونباخ ألفا ( ن= 30)

      تشیر نتائج الجدول (3) إلى قیم ثبات صعوبات مهارات التواصل الریاضی تراوحت بین (0,754- 0,896)، وبلغ الثبات الکلی للصعوبات (0,879)، وجمیع قیم الثبات مقبولة، وتطمئن إلى ثبات الاستبانة عند تطبیقها على العینة المستهدفة.

نتائج الدراسة :

أولا: عرض ومناقشة نتائج السؤال الأول:

     نص السؤال الأول على: ما درجة صعوبات مهارات التواصل الریاضی لدى طلاب المرحلة المتوسطة من وجهة نظر مشرفی ومعلمی الریاضیات بمدینة مکة المکرمة؟ وللإجابة على هذا السؤال تم استخراج المتوسطات الحسابیة والانحرافات المعیاریة ورتبة ودرجة کل محور من محاور أداة الدراسة، والمتعلق بصعوبات مهارات التواصل الریاضی، ویوضح الجدول (4) هذه النتائج.

جدول (4):

الدرجة الکلیة لصعوبات مهارات التواصل الریاضی بالمرحلة المتوسطة

      تشیر نتائج الجدول (4) إلى أن صعوبات مهارات التواصل الریاضی بالمرحلة المتوسطة کانت بدرجة متوسطة، حیث بلغ المتوسط الحسابی العام (2,31) بانحراف معیاری (0,357)، وهی قیمة أقل من الواحد الصحیح مما یشیر إلى تجانس الاستجابات، وقد تراوحت المتوسطات الحسابیة للمحاور الفرعیة بین (2,24- 2,41)؛ حیث ظهر محوران بدرجة صعوبة عالیة، وثلاثة محاور بدرجة صعوبة متوسطة، وجاء محور صعوبات مهارات التمثیل الریاضی فی الترتیب الأول بمتوسط حسابی (2,41) ودرجة صعوبة عالیة، تلاه محور صعوبات مهارات التحدث الریاضی بمتوسط حسابی (2,35) ودرجة صعوبة عالیة، بینما ظهر محور صعوبات مهارات الاستماع الریاضی فی الترتیب الثالث بدرجة صعوبة متوسطة وبمتوسط حسابی (2,30)؛ ثم محور صعوبات مهارات القراءة الریاضیة بدرجة صعوبة متوسطة وبمتوسط حسابی (2,25)، وظهر محور صعوبات مهارات الکتابة الریاضیة فی الترتیب الأخیر بمتوسط حسابی (2,24) وبدرجة صعوبة متوسطة.

      ویعزو الباحث الدرجة العالیة لمحوری صعوبات مهارات التمثیل الریاضی وصعوبات مهارات التحدث الریاضی، إلى أن التمثیل الریاضی تتضح فی کثیر من جوانبه مهارات التفکیر الریاضی، والقدرة على تحویل الصیغ الریاضیة من شکل لآخر، وهو ما یتطلب مستوى عالٍ من الفهم الریاضی، وأما ظهور صعوبات مهارات التحدث بدرجة عالیة فیرجع إلى أن التحدث الریاضی یتطلب من الطلاب بناء الثقة فی النفس والانتباه والقدرة على استخدام لغة الریاضیات، وامتلاک مهارات التحدث، کما تتجسد فی التحدث الریاضی مهارات الفهم الریاضی، والقدرة على ترتیب الأفکار وتنظیمها، وتلخیصها، وإبرازها لفظیاً، وهذا کله یتطلب تدریب وتنمیة عند کثیر من الطلاب.

        وأما الصعوبات التی ظهرت بدرجة متوسطة (الاستماع، القراءة، والکتابة)، فقد یرجع ذلک إلى کثرة استخدامها فی الحصص الدراسیة، سواء فی التدریس التقلیدی، أو التدریس باستخدام الاستراتیجیات والطرق الحدیثة، فغالباً ما یستمع الطلاب جمیعاً للدرس، ویکتبونه، أو یکتبون الأنشطة التی یتابعها المعلمون ویقیمونها، کما أن القراءة تدخل فی أنشطة الحصص، وذلک على الرغم من تفاوت هذا الاستخدام، الذی قد یکون أیضاً محدوداً فی بعض الأحیان، لذلک ظهرت الصعوبات بدرجة متوسطة، ولیست منخفضة أو عالیة.

      وتتفق هذه النتائج إجمالاً نتائج دراسة خلیل (2015) والنذیر والمالکی (2015) التی أظهرت أن مستوى مهارات التواصل الریاضی لدى الطلاب کان متوسطاً، کما تتفق مع نتائج دراسة النباتی (1435) التی أظهرت أن مستوى صعوبات تعلم بعض موضوعات الریاضیات کان متوسطاً، وکذلک دراسة لوکسی وکارنی (Loxi&Kearney,2009) التی أوضحت أن تمکن المعلمین من مهارات التواصل الریاضی کان بدرجة متوسطة، بینما تختلف مع نتائج دراسة الظفیری (2016) التی أظهرت أن مستوى صعوبات تعلم بعض موضوعات الریاضیات کان بدرجة عالیة.

وفیما یلی النتائج التفصیلیة للمحاور الخمسة:

1- درجة صعوبات مهارات القراءة الریاضیة:

جدول (5) :

درجة صعوبات مهارات القراءة الریاضیة بالمرحلة المتوسطة

       یتضح من الجدول (5) أن صعوبات مهارات القراءة الریاضیة بالمرحلة المتوسطة  ظهرت بدرجة متوسطة، حیث بلغ المتوسط الحسابی العام للمحور (2,25) بانحراف          معیاری (0,373)، وقد ظهرت ثلاث عبارات بدرجة عالیة، وست عبارات بدرجة متوسطة،        وتدرجت المتوسطات الحسابیة بین (2,03- 2,56) بانحرافات معیاریة تراوحت بین          (0,594- 0,716).

      وقد ظهرت العبارات (9، 5، 7) بدرجة عالیة؛ حیث جاءت العبارة (9) فی الترتیب الأول، ونصت على " قراءة الصیغ الریاضیة الطویلة" بمتوسط حسابی (2,56)، تلاها العبارة (5) التی نصت على " تحدید معطیات المسألة الریاضیة المکتوبة" بمتوسط حسابی (2,39)، وفی الترتیب الثالث العبارة (7) التی نصت على " تحدید المطلوب بالصیغة الریاضیة" بمتوسط حسابی (2,38).

      وتدرجت المتوسطات الحسابیة لباقی عبارات المحور التی ظهرت جمیعها بدرجة متوسطة، حتى جاء فی الترتیب الأخیر العبارات (2، 3، 4)، وقد نصت العبارة (2) على "التمییز بین صیغ ودلالات الرموز والعلاقات الریاضیة المکتوبة" بمتوسط حسابی (2,12)، تلاها العبارة (3) التی نصت على "قراءة الرسوم البیانیة بشکل صحیح" بمتوسط حسابی (2,09)، وأخیراً العبارة (4) التی نصت على "تفسیر الرسومات الریاضیة المتضمنة فی النص الریاضی" بمتوسط حسابی (2,03).

      ویعزو الباحث صعوبات القراءة الریاضیة التی ظهرت بدرجة عالیة إلى أنها تتطلب مهارات خاصة وتدریب، فالصیغ الریاضیة الطویلة تحتاج إلى انتباه بصری أثناء القراءة وقدرة على تمییز الرموز المتضمنة فیها وفهم ما تشیر إلیه، والحاجة إلى التدرب على قراءتها، واستخراج المطلوب من المسألة أو الصیغة الریاضیة یُعد خطوة رئیسة فی حل المسائل الریاضیة، والتی تتطلب الطلاب امتلاک مهارات استخراج المعلومات ذات العلاقة، ثم تحدید کیفیة الترابط بین هذه المعلومات، لعل ظهور هذه الصعوبات بدرجة عالیة راجع إلى ضعف اتمام المعلمین بتنمیتها لدى الطلاب، وهذا ما أکدته نتائج دراسة العایدی (2011) من ضعف قدرة الطلاب على تحدید المعطیات بدقة.

      وأما صعوبات القراءة التی ظهرت بدرجة متوسطة، فقد یرجع السبب إلى ارتباطها بصورة کبیرة بالخبرة السابقة للطلاب والرصید المعرفی من الرموز والصیغ الریاضیة، وأن بعض الطلاب لا یملک فی الحقیقة مثل هذا الرصید المعرفی، فیخطئ فی القراءة، وعلى الرغم من أن بعض المعلمین یجتهدون فی تصویبها لدى الطلاب أثناء القراءة، وتوضیح معانی الصیغ الریاضیة وربط الرموز الریاضیة بمعناها، والتمییز بینها، وتفسیر الرسومات المقروءة بطریقة صحیحة، إلاّ أن زیادة أعداد الطلاب فی الصفوف، وضیق وقت الحصة لا یمکن المعلم من استقصاء هذه الصعوبات لدى جمیع الطلاب، فتظهر باستمرار من طلاب جدد عند القراءة فی دروس تالیة، وتتفق هذه النتائج مع ما أظهرته دراسة خلیل (2015) من أن تمکن الطلاب من مهارات تفسیر ووصف التمثیلات الرسومات الریاضیة کان بدرجة متوسطة.

2- درجة صعوبات مهارات الکتابة الریاضیة:

جدول (6):

درجة صعوبات مهارات الکتابة الریاضیة بالمرحلة المتوسطة

      یتضح من الجدول (6) أن صعوبات مهارات الکتابة الریاضیة بالمرحلة المتوسطة ظهرت بدرجة متوسطة؛ حیث بلغ المتوسط الحسابی العام للمحور (2,24) بانحراف معیاری (0,421)، وقد ظهرت ثلاث عبارات بدرجة عالیة، وخمس عبارات بدرجة متوسطة، وتدرجت المتوسطات الحسابیة بین(2,05- 2,41) بانحرافات معیاریة تراوحت بین (0,575- 0,724).

     وقد ظهرت العبارات (17، 15، 16) بدرجة عالیة؛ حیث جاءت العبارة (17) فی الترتیب الأول، ونصت على " کتابة القوانین أو النظریات لمسألة معطاة" بمتوسط حسابی (2,41)، تلاها العبارة (15) التی نصت على " الاهتمام بمناقشة أفکار التعلم الریاضی لدى الأقران کتابیًّا" بمتوسط حسابی (2,35)، وفی الترتیب الثالث العبارة (16) التی نصت على " ترجمة عبارة ریاضیة لفظیة إلى رموز ریاضیة کتابیًّا" بمتوسط حسابی (2,34).

     وتدرجت المتوسطات الحسابیة لباقی عبارات المحور التی ظهرت جمیعها بدرجة متوسطة، حتى جاء فی الترتیب الأخیر العبارات (12، 10، 11)، وقد نصت العبارة (12) على " کتابة مکونات المعرفة الریاضیة (مفهوم, تعمیم, مهارة, ....) بشکل صحیح" بمتوسط حسابی (2,16)، تلاها العبارة (10) بمتوسط حسابی (2,15) ونصت على " التعبیر الکتابی عن العبارات والرموز والمصطلحات الریاضیة"، وجاءت العبارة (11) فی الترتیب الأخیر بمتوسط حسابی (2,05) ونصت على " التمییز بین طبیعة ومکونات الصور والأشکال التوضیحیة ریاضیاً".

      وتعزى الصعوبات التی ظهرت بدرجة عالیة إلى أن بعضها یحتاج إلى تدریب کتابی لتنمیتها، مثل: کتابة القوانین أو النظریات لمسألة معطاة، وترجمة العبارات الریاضیة اللفظیة إلى رموز ریاضیة کتابیًّا، وهذا التدریب یتطلب من المعلم اکتشاف هذه الصعوبات أولاً، وإعداد برامج علاجیة لها، إلاّ أن الضغوط التی یواجهها بعض المعلمین، مثل طول المقرر، والجهد والوقت الذی تتطلبه الأنشطة العلاجیة، تجعل بعض المعلمین یحجمون عن ذلک، وأما الصعوبة العالیة لعبارة " الاهتمام بمناقشة أفکار التعلم الریاضی لدى الأقران کتابیًّا"، فلأنها تحتاج إلى استخدام وتطبیق استراتیجیات التعلم النشط المتمحور حول الطالب، وهو ما یعانی قصوراً فی التطبیق فی کثیر من المدارس.

      وأما الدرجة الکلیة المتوسطة لصعوبات المحور، فقد ترجع إلى أن الکتابة الریاضیة لا زالت تحظى باهتمام کثیر من المعلمین، الذین یتابعون أنشطة الطلاب التقویمیة المکتوبة ویصوبونها لهم، بما یقلل من صعوبات الکتابة قدر الإمکان، فضلاً عن أن المعلم یقضی جزء من وقت الحصة فی الکتابة الریاضیة، مما یقلل إلى حد ما من الصعوبات التی تواجه الطلاب فی کتابة الخطوات، أو العبارات والرموز والمصطلحات الریاضیة أو التمییز بینها کتابیاً.وتتفق هذه النتائج إجمالاً مع نتائج دراسة خلیل (2015) والنذیر والمالکی (2015) التی أظهرت أن مهارات التواصل الکتابی لدى الطلاب کانت بدرجة متوسطة، کما تتفق مع نتائج دراسة القرشی التی أظهرت أن تمکن معلمی الریاضیات من مهارات التواصل الکتابی کان بدرجة متوسطة، بینما تختلف مع نتائج دراسة العوفی (2014) التی أکدت على ضعف وتدنی مستوى مهارات الکتابة الریاضیة لدى الطلاب.

3- درجة صعوبات مهارات الاستماع الریاضی:

جدول (7) :

درجة صعوبات مهارات الاستماع الریاضی بالمرحلة المتوسطة

     یتبین من الجدول (7) أن صعوبات مهارات الاستماع الریاضی بالمرحلة المتوسطة   ظهرت بدرجة متوسطة؛ حیث بلغ المتوسط الحسابی العام للمحور (2,30) بانحراف       معیاری (0,458)، وقد ظهرت ثلاث عبارات بدرجة عالیة، وأربع عبارات بدرجة        متوسطة،  وتدرجت المتوسطات الحسابیة بین (2,12- 2,43) بانحرافات معیاریة تراوحت بین (0,589- 0,713).

     وقد ظهرت العبارات (19، 18، 24) على الترتیب بدرجة عالیة؛ حیث جاءت العبارة (19) فی الترتیب الأول، ونصت على " فهم الجملة الریاضیة التی لم یسمع منها إلاًّ جزءاً" بمتوسط حسابی (2,43)، تلاها العبارة (18) التی نصت على " تحدید العلاقة الریاضیة التی یسمعها" بمتوسط حسابی (2,41)، وفی الترتیب الثالث العبارة (24) التی نصت على " التمییز بین مدلولات الرموز والمفاهیم الریاضیة المسموعة" بمتوسط حسابی (2,40).

     وتدرجت المتوسطات الحسابیة لباقی عبارات المحور الأربع التی ظهرت جمیعها بدرجة متوسطة، حتى جاء فی الترتیب الأخیر العبارات (22، 20، 21)، وقد نصت العبارة (22) على " الاستماع إلى  الألفاظ الریاضیة المنطوقة" بمتوسط حسابی (2,28)، تلاها العبارة (20) بمتوسط حسابی (2,24) ونصت على " تذکر المصطلحات الریاضیة التی سمعها"، وجاءت العبارة (21) فی الترتیب الأخیر بمتوسط حسابی (2,12) ونصت على "تفسیر أداء         الأقران شفهیاً".

     وتعزى الصعوبات التی ظهرت بدرجة عالیة إلى أن بعضها یتطلب فهماً ریاضیاً عالیاً، ومعرفة ریاضیة سابقة یبنى علیها الطالب، مثل: فهم الجملة الریاضیة التی لم یسمع منها إلاًّ جزءاً، کما أن بعضها یتطلب التدریب والمران، وکثرة الاستماع والتعود على صوت المتلقی ووضوحه، وأحیاناً یتطلب وقتاً مناسباً لتحدید ما یتضمنه الکلام من علاقات، أو للتمییز بین مدلولات الرموز والمفاهیم الریاضیة المسموعة، أضف لذلک أن کثیر من المعلمین لا یسهم فی علاج هذه الصعوبات بسبب محاولته المحافظة على تحقیق أهداف الدرس والسیطرة على الوقت، والسعی إلى الانتهاء من المقرر فی الوقت المحدد.

     وأما الدرجة المتوسطة لصعوبات مهارات الاستماع الریاضی ککل، فقد ترجع إلى أن المعلم فی جزء کبیر من الحصة یکون ملقیاً، ویکون الطالب مستمعاً، الأمر الذی یقلل من حدة بعض الصعوبات لدیه، خاصة المکررة فی کلام المعلم، مثل الألفاظ والمصطلحات الریاضیة الشائعة، والقدرة على التمییز بینها بما یمکنه من تحدید الإجابة الصحیحة إذا استمع إلى أکثر من إجابة. وتتفق هذه النتائج ضمنیاً مع نتائج دراسة السر (2015) التی أظهرت أن درجة ممارسة معلمی الریاضیات لمهارات الاستماع الریاضی کانت متوسطة.

4- درجة صعوبات مهارات التحدث الریاضی

جدول (8) :

درجة صعوبات مهارات التحدث الریاضی بالمرحلة المتوسطة

      یتضح من نتائج الجدول (8) أن صعوبات مهارات التحدث الریاضی بالمرحلة المتوسطة ظهرت بدرجة عالیة؛ حیث بلغ المتوسط الحسابی العام للمحور (2,35) بانحراف         معیاری (0,385)، وقد ظهرت خمس عبارات بدرجة عالیة، وثلاث عبارات بدرجة         متوسطة، وتدرجت المتوسطات الحسابیة بین (2,22- 2,46) بانحرافات معیاریة تراوحت بین (0,551- 0,671).

      وقد ظهرت العبارات (32، 30، 29، 31، 27) على الترتیب بدرجة عالیة؛ حیث جاءت العبارة (32) فی الترتیب الأول، ونصت على " ترتیب أفکار التعلم الریاضی بشکل منطقی أثناء التحدث" بمتوسط حسابی (2,46)، تلاها العبارة (30) التی نصت على " وصف نموذج حسی أو شکل هندسی ذی علاقة بمحتوى تعلم ریاضی حالی" بمتوسط حسابی (2,42)، وفی الترتیب الثالث العبارة (29) التی نصت على " تقدیم وصف شفهی لموقف حیاتی یتطلب عملیة ریاضیة" بمتوسط حسابی (2,40)، تلاها العبارة (31) بمتوسط حسابی (2,38) والتی نصت على " تلخیص المعلومات الریاضیة شفهیاً"، ثم العبارة (27) بمتوسط حسابی (2,37)، والتی نصت على " استخدام لغة خاصة لتقریب معنى مفهوم ریاضی".

     وظهرت العبارات (25، 28، 26) على الترتیب بدرجة متوسطة، حیث نصت العبارة (25) على "ذکّر القوانین أو النظریات الریاضیة " بمتوسط حسابی (2,29)، تلاها العبارة (28) بمتوسط حسابی (2,26) ونصت على " التمییز ما بین أنماط عددیة أو هندسیة ضمن محتوى تعلم ریاضی محدد شفهیاً"، وجاءت العبارة (26) فی الترتیب الأخیر بمتوسط حسابی (2,22) ونصت على " التعداد اللفظی لخصائص أو عناصر شکل أو محتوى ریاضی".

     ویعزو الباحث الدرجة العالیة لصعوبات مهارات التحدث الریاضی، إلى ضعف مهارات التحدث لدى الطلاب، نتیجة قلة اشتراکهم فی الحوار والمناقشة لشعورهم بالخوف والتردد، أو عدم تفعیل المناقشات والحوارات من قبل المعلمین، واستخدم طرق تدریس تقلیدیة لا تنمی مهارات التحدث لدى الطلاب، وفضلاً عن أن بعض الطلاب قد یفتقدون مهارات التحدث، وأن التحدث الریاضی یتطلب فهماً للموضوعات الریاضیة وقدرة على قراءة رموزها ومصطلحاتها، فإن التحدث یتطلب کذلک وقتاً للممارسة الفعلیة من قبل الطلاب، وهو ما لا یتیحه وقت الحصة القصیر لجمیع الطلاب، کما لا تتیحه زیادة أعداد الطلاب فی کثیر من الصفوف الدراسیة. وتتفق هذه النتائج مع ما أظهرته دراسة الزهرانی (2014) من ضعف مستوى تحقق معاییر دعم التواصل الریاضی من قبل المعلمین.

5- درجة صعوبات مهارات التمثیل الریاضی

جدول (9) :

درجة صعوبات مهارات التمثیل الریاضی بالمرحلة المتوسطة

     تشیر نتائج الجدول (9) إلى أن صعوبات مهارات التمثیل الریاضی بالمرحلة المتوسطة ظهرت بدرجة عالیة؛ حیث بلغ المتوسط الحسابی العام للمحور (2,41) بانحراف        معیاری (0,497)، وقد ظهرت ست عبارات بدرجة عالیة، وعبارتان بدرجة متوسطة،       وتدرجت المتوسطات الحسابیة بین (2,28- 2,52) بانحرافات معیاریة تراوحت بین           (0,614- 0,701).

     وقد ظهرت العبارات (33، 40، 34، 37، 36، 35) على الترتیب بدرجة عالیة؛ حیث جاءت العبارة (33) فی الترتیب الأول، ونصت على " ترجمة الأشکال الریاضیة إلى رموز جبریة" بمتوسط حسابی (2,52)، تلاها العبارة (40) التی نصت على " ترجمة الأشکال البیانیة إلى جداول ریاضیة" بمتوسط حسابی (2,51)، وجاءت العبارة (34) فی الترتیب الثالث، حیث نصت على "ترجمة المسائل اللفظیة إلى أشکال أو جداول ریاضیة" بمتوسط حسابی (2,48)، تلاها العبارة (37) بمتوسط حسابی (2,42) والتی نصت على "تمثیل التعمیمات الریاضیة بأشکال ورسومات توضیحیة"، ثم العبارة (36) بمتوسط حسابی (2,41)، والتی نصت على " ترجمة النص الریاضی إلى علاقات ریاضیة"، وأخیراً العبارة (35) التی نصت على "تمثیل الجداول الریاضیة برسم بیانی مناسب" بمتوسط حسابی (2,38).

     وظهرت العبارتان (39، 38) على الترتیب بدرجة متوسطة، حیث نصت العبارة        (39) على " تعرّف الصیاغات المتکافئة للنص الریاضی" بمتوسط حسابی (2,31)، تلاها العبارة (38) بمتوسط حسابی (2,28) ونصت على " تمثیل الأعداد بصورة مختلفة مثل: (المعداد, المکعبات, النقود .......)".

     وتعزى الدرجة العالیة لصعوبات مهارات التمثیل الریاضی إلى أن التمثیل الریاضی یتطلب فهم الطلاب للموضوعات الریاضیة فهماً جیداً، والإلمام بالرموز والمصطلحات الریاضیة، والقدرة على ترجمة المسألة أو الفکرة الریاضیة إلى صیغة جدیدة أو شکل جدید أو جدول معلومات أو شکل بیانی، أو نموذج محسوس أو تحویل، أو ترجمة الصور والرسوم الممثلة إلى رموز وکلمات ریاضیة واضحة، إضافة إلى تحدید العناصر الرئیسة للرسومات أو الصور أو الأشکال، واستخلاص المعانی، وترتیب المعلومات التی یتم الحصول علیها، وتنظیمها وتفسیرها، وهذه المهارات قد لا یعطیها کثیر من المعلمین اهتماماً أثناء الدرس، إضافة إلى قلة اهتمام بعض المعلمین بفهم الطلاب للعلاقات التوافقیة بین الأشکال المختلفة من التمثیلات المتعددة، والمعرفة الریاضیة، کما أن بعضهم لا یستخدم التمثیل کأداة للتفکیر والتفسیر أثناء التدریس وفی الأنشطة التقویمیة، فتعمل کل هذه العوامل مجتمعة على ضعف الطلاب فی استخدام التمثیلات الریاضیة، ومواجهة صعوبات کبیرة فی مهارات التمثیل الریاضی.

ثانیا: عرض ومناقشة نتائج السؤال الثانی:

      نص السؤال الثانی على: هل توجد فروق ذات دلالة إحصائیة عند مستوى الدلالة       (α ≤ 0,05 ) بین متوسطات استجابات أفراد عینة الدراسة حول صعوبات مهارات التواصل الریاضی تعزى لاختلاف الوظیفة (مشرف، معلم)؟ وللإجابة عن هذا السؤال تم استخدام اختبار مان وتنی اللامعلمی (Mann Whitney U)، وذلک بعد التأکد من عدم اعتدالیة توزیع البیانات باستخدام اختبار کولمجروف سمیرنوف، یوضح الجدول (10) النتائج.

جدول رقم (10):

نتائج اختبار مان وتنی (Mann-Whitney) للفروق بین متوسطات الاستجابات على محاور صعوبات مهارات التواصل الریاضی وفقاً لمتغیر الوظیفة

      یتضح من نتائج الجدول (10) عدم وجود فروق ذات دلالة إحصائیة بین متوسطات استجابات عینة الدراسة على محاور صعوبات مهارات التواصل الریاضی تعزى لاختلاف الوظیفة (مشرف تربوی- معلم)؛ حیث بلغت مستویات الدلالة للمحاور الفرعیة (القراءة، الکتابة، الاستماع، التحدث، والتمثیل الریاضی) والدرجة الکلیة على التوالی (0,508- 0,056- 0,190- 0,844-0,058- 0,116)، وهی قیم أکبر من قیمة الدلالة المعنویة (0,05)، مما یعنی عدم وجود فروق دالة إحصائیاً.

     وقد یرجع السبب فی عدم وجود فروق تعزى لاختلاف الوظیفة فی تقدیر صعوبات مهارات التواصل الریاضی إلى تجانس الاستجابات، والذی یرجع إلى معاینة المعلمین والمشرفین جمیعاً لواقع الطلاب، ولما یحظى به التواصل الریاضی من اهتمام یجعل ملاحظته أمر یسیر من قبل المشرفین أثناء الزیارات الصفیة، کما یلاحظه المعلمون بصفة یومیة من خلال التدریس.

التوصیات :

فی ضوء النتائج السابقة خلصت هذه الدراسة إلی التوصیات الآتیة :

1. استخدام المعلمین الاستراتیجیات التدریسیة التی تدعم محاولات الکتابة الریاضیة أثناء موقف التعلم، مع التنویع بینها، ومراعاة إشراک الطلاب فی تنفیذها، بما یشجعهم على الکتابة الریاضیة، ومناقشة المکتوب مع المعلم والزملاء، والحرص على التدرج فی تنمیة مهارات الکتابة لدى الطلاب، مع الترکیز على معالجة صعوبات کتابة القوانین أو النظریات الریاضیة، وتدریبهم على ترجمة العبارات الریاضیة اللفظیة إلى رموز ریاضیة مکتوبة.
2. تدریب الطلاب على التحدث الریاضی، من خلال مشارکتهم فی الدرس، واستخدام الاستراتیجیات التدریسیة والألعاب والألغاز الریاضیة التی تشجعهم على التحدث بلغة الریاضیات، وتنمی لدیهم مهارات  ترتیب أفکار التعلم الریاضی بشکل منطقی أثناء التحدث، کما ینبغی على المعلم تنویع المثیرات الریاضیة داخل غرفة الصف بما یستثر دافعیتهم ویعطیهم الفرصة لممارسة التحدث الریاضی، على أن یولی المعلمون اهتماماً خاصاً بصعوبات التحدث التی یواجهها الطلاب، فینمون لدیهم القدرة على الوصف الشفهی للنماذج الحسیة والأشکال الهندسیة والمواقف الحیاتیة والتعلیمیة ذات العلاقة بمحتوى التعلم الریاضی، والقدرة على تلخیص المعلومات الریاضیة شفهیاً، واستخدام لغة الریاضیات بطریقتهم الخاصة لتقریب المفاهیم الریاضیة لأقرانهم.
3. إعطاء مهارات التمثیل الریاضی مزید من الاهتمام من قبل المعلمین، من خلال وضع خطة متدرجة لتنمیتها لدى الطلاب، بحیث یتم تعریفهم بأسالیب التمثیل الریاضی وتدریبهم على تطبیقها، والترکیز على تحویل وترجمة الصیغ الریاضیة من صیغة لأخرى، من خلال استخدام استراتیجیات تدریسیة مناسبة، ومن خلال الأنشطة الصفیة والتدریبات المنزلیة، على أن یراعی المعلمون فی ذلک علاج صعوبات التمثیل الریاضی لدى الطلاب، مثل ترجمة الأشکال الریاضیة إلى رموز جبریة، والأشکال البیانیة إلى جداول ریاضیة، والمسائل اللفظیة إلى أشکال أو جداول ریاضیة بصعوبة، والنصوص الریاضیة إلى علاقات ریاضیة، والقدرة على تمثیل التعمیمات الریاضیة بأشکال ورسومات توضیحیة، و تمثیل الجداول الریاضیة برسوم بیانیة.

المقترحات :

فی ضوء النتائج التی تم التوصل إلیها یقترح الباحث إجراء دراسات حول الآتی :

1. المعوقات التی تواجه معلمی الریاضیات فی تنمیة مهارات التواصل الریاضی لدى طلاب المرحلة المتوسطة.
2. الاحتیاجات التدریبیة اللازمة لمعلمی الریاضیات بالمرحلة المتوسطة لتنمیة مهارات التواصل الریاضی لدى الطلاب.
3. مستوى مهارات التواصل الریاضی لدى معلمی الریاضیات بالمرحلة المتوسطة.
4. مهارات التواصل الریاضی اللازمة لطلاب المرحلة المتوسطة ومدى تضمنها فی کتب الریاضیات.

المراجع

أولا: المراجع العربیة:

بدوی, رمضان. (2003). استراتیجیات فی تعلیم وتقویم تعلم الریاضیات. عمان: دار الفکر.

بدوی, رمضان. (2007). تدریس الریاضیات الفعال من ریاض الأطفال حتى الصف السادس الابتدائی دلیل للمعلمین والآباء ومخططی المناهج. عمان: دار الفکر.

جحلان, عبدالله والبلاونة, فهمی. (2012). مهارات الاتصال فی الریاضیات. عمان: دار جلیس الزمان للنشر والتوزیع.

الحیلة، محمد محمود. (2014). مهارات التدریس الصفی (ط4). عمان: دار المسیرة للنشر والتوزیع والطباعة.

خلیل، إبراهیم بن الحسین. (2015). مستوى التواصل الریاضی الکتابی لدى تلامیذ الصف السادس الابتدائی    وعلاقته بالتحصیل الدراسی. وقائع  المؤتمر العلمی السنوی الخامس عشر للجمعیة المصریة لتربویات الریاضیات بعنوان تعلیم وتعلم الریاضیات وتنمیة مهارات القرن الحادی والعشرین، مصر، 220-249.

الذراحی، فاطمة یحی.(2009). التواصل الریاضی لدى تلامیذ الصف الثامن من التعلیم الأساسی وعلاقته بالتحصیل الریاضی (أطروحة ماجستیر غیر منشورة). کلیة التربیة، جامعة صنعاء، صنعاء، الیمن.

رصرص، حسن. (2007). برنامج مقترح لعلاج الأخطاء الشائعة فی حل المسألة الریاضیة لدى طلبة الصف الأول الثانوی الأدبی بمحافظة غزة (أطروحة ماجستیر غیر منشورة ). کلیة التربیة، الجامعة الإسلامیة، عزة. فلسطین.

الرفاعی، أحمد محمود رجائی. (2001). استراتیجیة مقترحة لتنمیة التواصل الریاضی والتحصیل والاتجاه نحو الریاضیات لدى تلامیذ الصف الخامس الابتدائی (أطروحة ماجستیر غیر منشورة ). کلیة التربیة، جامعة طنطا، طنطا، مصر.

الزهرانی، محمد بن مفرح. (2014). الممارسات التدریسیة الداعمة لتنمیة التواصل الریاضی لدى المتعلمین ومدى توفرها فی تدریس الریاضیات بالمرحلة الثانویة. مجلة تربویات الریاضیات –مصر، 17(5)، 131 - 166.

السر، خالد خمیس عاشور. (2015). درجة ممارسة معلمی الریاضیات لتحرکات تنمیة أنماط التواصل الریاضی ومهاراته لدى طلبتهم فی الصفوف السابع والثامن والتاسع فی محافظات غزة. مجلة العلوم التربویة والنفسیة – البحرین، 16(2)، 399- 429.

سلام، وائل مسعد.(2004). دراسة فعالیة استخدام قائمة على التواصل الریاضی فی علاج بعض أخطاء تلامیذ المرحلة الابتدائیة فی الریاضیات وأثر ذلک على نمو تفکیرهم الریاضی واستمتاعهم بالمادة (أطروحة ماجستیر غیر منشورة). کلیة التربیة، طنطا، مصر.

الشرفات, حسین وغنیمات, موسى. (2016). مناهج الریاضیات الواقع والمأمول. عمان: دار المعتز للنشر والتوزیع.

طافش, إیمان. (2011) أثر برنامج مقترح فی مهارات التواصل الریاضی على تنمیة التحصیل العلمی ومهارات التفکیر البصری فی الهندسة لدى طالبات الصف الثامن الأساسی بغزة (أطروحة ماجستیر غیر منشورة). جامعة الأزهرة, غزة، فلسطین.

الظفیری, مشعل غانم. (2016). صعوبات تعلم المفاهیم والمهارات الهندسیة لدى طلاب الصف الخامس الابتدائی من وجهة نظر معلمی ومشرفی الریاضیات بمحافظة حفر الباطن (أطروحة ماجستیر غیر منشورة). کلیة التربیة، جامعة أم القرى، مکة، المملکة العربیة السعودیة.

عاشور, هیا مصطفی. (2015). فاعلیة برنامج قائم على نظریة تریز فی تنمیة مهارات التفکیر الابداعی ومهارات التواصل الریاضی لدى طلاب الصف الخامس ( أطروحة ماجستیر غیر منشورة). کلیة التربیة، الجامعة الإسلامیة, فلسطین.

عفانه, عزو والسر, خالد وأحمد, منیر والخزندار, نائلة. (2012). استراتیجیات تدریس الریاضیات فی مراحل التعلیم العام. عمان: دار الثقافة للنشر والتوزیع.

العوفی، عبد العزیز مساعد. (2014). درجة تمکن طلاب الصف الثالث المتوسط من مهارات التواصل الریاضی (أطروحة ماجستیر غیر منشورة). کلیة التربیة، جامعة أم القرى، مکة المکرمة، المملکة العربیة السعودیة.

 العید, وئام إبراهیم الشیخ. (2014). أثر تدریس وحدة مقترحة قائمة على استراتیجیة E,s seven فی تنمیة مهارات التواصل الریاضی فی الهندسة والاحتفاظ بها لدى طالبات الصف التاسع الأساسی فی غزة (أطروحة ماجستیر غیر منشورة).  کلیة التربیة, جامعة الأزهر، غزة، فلسطین.

النباتی, فواز فالح. (1435ه). صعوبات تعلم المهارات العددیة لدى تلامیذ المرحلة الابتدائیة والحلول المناسبة لها من وجهة نظر معلمی ومشرفی الریاضیات فی مدینة مکة المکرمة (أطروحة ماجستیر غیر منشورة). کلیة التربیة, جامعة أم القرى، مکة، المملکة العربیة السعودیة.

النحال, سهاد فخری. (2016). أثر توظیف استراتیجیة الرؤوس المرقمة معاً على تنمیة مهارات التواصل ودافع الإنجاز فی الریاضیات لدى طالبات الصف السابع الأساسی بغزة (أطروحة ماجستیر غیر منشورة). کلیة التربیة, الجامعة الإسلامیة، فلسطین.

النذیر، محمد بن عبدالله والمالکی، فاطمة بنت ناصر. (2015). العلاقة بین التواصل الریاضی الکتابی والتحصیل الدراسی لدى طالبات الصف الخامس الابتدائی فی مدینة الریاض . مجلة العلوم التربویة - جامعة الإمام محمد بن سعود الإسلامیة، (4)، 199 - 230.

نصر الله, عمر عبدالرحیم. (2001). مبادئ الاتصال التربوی والإنسانی. عمان: دار وائل للنشر.

وزارة التربیة والتعلیم, (2004). المجموعة الاستشاریة التخصصیة لصعوبات التعلم, صعوبات التعلم دلیل أولیاء الأمور. الریاض: مدارس نجد الأهلیة.

ثانیا: المراجع الأجنبیة:

Lexi, W. & Kearney, N. (2009). Unpublished Master Thesis, The Faculty of Teacher Training and Education, University of Nebraska, Lincholn.

Shaw, J. Guelig (1983) Mathematics Students Have a Right to Write. Arithmetis teacher, 30(9): 16-17.